(a) Prove que
! para todo
composto.
(b) Prove que
.
(b) Prove que
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver os itens (a) e (b) do exercício. O que vamos precisar aqui envolve conceitos de divisibilidade, números compostos e o máximo divisor comum (MDC). Vamos usar propriedades de fatoriais e entender como números compostos interagem com eles.
Passo 2
Item (a): Provar que
para todo
composto.
Primeiro, vamos entender o que significa essa afirmação. Queremos mostrar que o número
divide exatamente
quando
é um número composto maior que 4.
Números compostos são aqueles que têm mais de dois divisores, ou seja, além de 1 e deles mesmos, possuem outros divisores. Por exemplo, 6 é composto porque tem divisores 1, 2, 3 e 6.
O fatorial de
, representado por
, é o produto de todos os números inteiros de 1 até
.
Passo 3
Agora, vamos à prova:
-
Estrutura do Número Composto: Como
é composto e maior que 4, ele pode ser escrito como , onde e são inteiros que satisfazem . -
Presença de Divisores no Fatorial: No produto
, todos os divisores e de estão presentes porque . -
Multiplicação dos Divisores: Como
e estão no fatorial, seu produto também está contido em . -
Conclusão da Divisibilidade: Portanto,
divide porque é formado pelo produto de dois números que já estão multiplicados no fatorial.
Item (b): Provar que
.
Agora, vamos provar que o máximo divisor comum entre
e
é 1, ou seja, eles são coprimos.
Passo 4
-
Expressando
: Sabemos que . -
Substituindo na Expressão: Assim,
. -
Aplicando Propriedade do MDC: O MDC de dois números também divide a diferença deles. Vamos calcular a diferença:
-
Conclusão sobre o MDC: Portanto,
divide . -
Verificando a Divisibilidade: Observamos que
é múltiplo de , então . Logo, . -
Implicação Final: Como
, concluímos que .
Resposta
(a) Para todo
composto,
divide exatamente
.
(b)
.
Exercícios relacionados
Sejam
. Prove as seguintes afirmações
(a) .
(b) Se , então
ou 2 .
© Se e
, então
. Prove que se
a afirmação não vale.
(d) e
para algum
, então
e
são quadrados perfeitos.
(a)
(b) Se
© Se
(d)
Mostre que
é sempre par para quaisquer
.
Discuta a paridade
(a) da soma de dois números.
(b) da diferença de dois números.
© do produto de dois números.
(d) da potência de um número.
(e) da soma de números ímpares
(a) da soma de dois números.
(b) da diferença de dois números.
© do produto de dois números.
(d) da potência de um número.
(e) da soma de
Ache o menor mútiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e por 4 .