(a) Prove que n | (n-1) ! para todo n > 4 composto.
(b) Prove que mdc(n!+1, (n+1)!+1) = 1.

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver os itens (a) e (b) do exercício. O que vamos precisar aqui envolve conceitos de divisibilidade, números compostos e o máximo divisor comum (MDC). Vamos usar propriedades de fatoriais e entender como números compostos interagem com eles.

Passo 2

Item (a): Provar que para todo composto.

Primeiro, vamos entender o que significa essa afirmação. Queremos mostrar que o número divide exatamente quando é um número composto maior que 4.
Números compostos são aqueles que têm mais de dois divisores, ou seja, além de 1 e deles mesmos, possuem outros divisores. Por exemplo, 6 é composto porque tem divisores 1, 2, 3 e 6.
O fatorial de , representado por , é o produto de todos os números inteiros de 1 até .

Passo 3

Agora, vamos à prova:
  1. Estrutura do Número Composto: Como é composto e maior que 4, ele pode ser escrito como , onde e são inteiros que satisfazem .
  2. Presença de Divisores no Fatorial: No produto , todos os divisores e de estão presentes porque .
  3. Multiplicação dos Divisores: Como e estão no fatorial, seu produto também está contido em .
  4. Conclusão da Divisibilidade: Portanto, divide porque é formado pelo produto de dois números que já estão multiplicados no fatorial.

Item (b): Provar que .

Agora, vamos provar que o máximo divisor comum entre e é 1, ou seja, eles são coprimos.

Passo 4

  1. Expressando : Sabemos que .
  2. Substituindo na Expressão: Assim, .
  3. Aplicando Propriedade do MDC: O MDC de dois números também divide a diferença deles. Vamos calcular a diferença:
  4. Conclusão sobre o MDC: Portanto, divide .
  5. Verificando a Divisibilidade: Observamos que é múltiplo de , então . Logo, .
  6. Implicação Final: Como , concluímos que .

Resposta

(a) Para todo composto, divide exatamente .
(b) .

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