Ache P(X^2 supondo que o vetor aleatório (X, Y) seja contínuo e tenha densidade conjunta dada por:
fX, Y(x, y)=c x I(0,1)(x) I(0,1)(y)
Dica: Primeiro defina a imagem do vetor aleatório, depois encontre o valor de c e por último faça o que se pede.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a probabilidade de que $ X^{2} < Y < X $ para um par de variáveis aleatórias contínuas $ (X, Y) $ que tem uma densidade conjunta dada por:
X^2 < Y < X
Isso está ligado ao conteúdo de Probabilidade e Distribuições Conjuntas. Vamos precisar entender como encontrar constantes de normalização e calcular probabilidades em regiões específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a “imagem” do vetor aleatório, ou seja, onde $ X $ e $ Y $ estão definidos. As funções $ I_{(0,1)}(x) $ e $ I_{(0,1)}(y) $ são funções indicadoras que valem 1 quando $ x $ e $ y $ estão entre 0 e 1, e 0 caso contrário. Isso significa que tanto $ X $ quanto $ Y $ estão no intervalo $ (0, 1) $.
Então, a imagem do vetor aleatório $ (X, Y) $ é o quadrado unitário no plano, onde $ 0 < x < 1 $ e $ 0 < y < 1 $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor da constante $ c $. Sabemos que a densidade conjunta deve integrar para 1 sobre toda a sua imagem. Ou seja:
c
Vamos resolver essa integral:
Primeiro, integramos em relação a $ y $:
integral0^1 integral0^1 c cdot x , dy , dx = 1
Agora, integramos em relação a $ x $:
y
Igualando a 1:
integral0^1 c cdot x , dy = c cdot x cdot integral0^1 dy = c cdot x cdot (1 - 0) = c cdot x

Passo 4

Com $ c = 2 $, a densidade conjunta fica:
c = 2
Agora, queremos calcular a probabilidade $ P(X^{2} < Y < X) $. Isso significa que estamos interessados na região onde $ Y $ está entre $ X^{2} $ e $ X $ dentro do quadrado unitário.
Para visualizar, imagine o gráfico no plano $ xy $ onde $ x $ e $ y $ variam de 0 a 1. A curva $ y = x^{2} $ é uma parábola que começa em (0,0) e vai até (1,1), ficando sempre abaixo da linha $ y = x $.
Então, a região de interesse está entre a curva $ y = x^{2} $ e a linha $ y = x $.
Para calcular a probabilidade, vamos integrar a densidade conjunta sobre essa região:
fX, Y(x, y) = 2x cdot I(0,1)(x) cdot I(0,1)(y)
Vamos resolver essa integral passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a $ y $:
P(X^2 < Y < X)
Agora, integramos em relação a $ x $:
Y
Calculando cada parte:
X^2
e
X
Subtraindo:
xy

Resposta

A probabilidade $ P(X^{2} < Y < X) $ é igual a $ \frac{1}{6} $.

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