Ache
supondo que o vetor aleatório
seja contínuo e tenha densidade conjunta dada por:
Dica: Primeiro defina a imagem do vetor aleatório, depois encontre o valor de
e por último faça o que se pede.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a probabilidade de que $ X^{2} < Y < X $ para um par de variáveis aleatórias contínuas $ (X, Y) $ que tem uma densidade conjunta dada por:
Isso está ligado ao conteúdo de Probabilidade e Distribuições Conjuntas. Vamos precisar entender como encontrar constantes de normalização e calcular probabilidades em regiões específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a “imagem” do vetor aleatório, ou seja, onde $ X $ e $ Y $ estão definidos. As funções $ I_{(0,1)}(x) $ e $ I_{(0,1)}(y) $ são funções indicadoras que valem 1 quando $ x $ e $ y $ estão entre 0 e 1, e 0 caso contrário. Isso significa que tanto $ X $ quanto $ Y $ estão no intervalo $ (0, 1) $.
Então, a imagem do vetor aleatório $ (X, Y) $ é o quadrado unitário no plano, onde $ 0 < x < 1 $ e $ 0 < y < 1 $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor da constante $ c $. Sabemos que a densidade conjunta deve integrar para 1 sobre toda a sua imagem. Ou seja:
Vamos resolver essa integral:
Primeiro, integramos em relação a $ y $:
Agora, integramos em relação a $ x $:
Igualando a 1:
Passo 4
Com $ c = 2 $, a densidade conjunta fica:
Agora, queremos calcular a probabilidade $ P(X^{2} < Y < X) $. Isso significa que estamos interessados na região onde $ Y $ está entre $ X^{2} $ e $ X $ dentro do quadrado unitário.
Para visualizar, imagine o gráfico no plano $ xy $ onde $ x $ e $ y $ variam de 0 a 1. A curva $ y = x^{2} $ é uma parábola que começa em (0,0) e vai até (1,1), ficando sempre abaixo da linha $ y = x $.
Então, a região de interesse está entre a curva $ y = x^{2} $ e a linha $ y = x $.
Para calcular a probabilidade, vamos integrar a densidade conjunta sobre essa região:
Vamos resolver essa integral passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a $ y $:
Agora, integramos em relação a $ x $:
Calculando cada parte:
e
Subtraindo:
Resposta
A probabilidade $ P(X^{2} < Y < X) $ é igual a $ \frac{1}{6} $.