Suponha o lançamento de dois dados justos. Para esse experimento defina as seguintes variáveis aleatórias: X= menor valor observado, Y= maior valor observado.
Calcule P(Y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com probabilidade, especificamente com o lançamento de dois dados justos. As variáveis aleatórias são X, que é o menor valor observado, e Y, que é o maior valor observado. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de que Y seja menor que X + 2, ou seja, P(Y < X + 2).

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantos resultados possíveis existem quando lançamos dois dados. Cada dado tem 6 faces, então o número total de combinações possíveis é 6 times 6 = 36.

Passo 3

Agora, vamos definir as variáveis:
  • X é o menor valor que aparece nos dois dados.
  • Y é o maior valor que aparece nos dois dados.
Isso significa que para cada resultado dos dois dados, a gente identifica qual é o menor e qual é o maior número.

Passo 4

Vamos listar todas as combinações possíveis dos dois dados e determinar os valores de X e Y para cada uma:
Dado 1 Dado 2 X Y
1 1 1 1
1 2 1 2
1 3 1 3
1 4 1 4
1 5 1 5
1 6 1 6
2 1 1 2
2 2 2 2
2 3 2 3
2 4 2 4
2 5 2 5
2 6 2 6
3 1 1 3
3 2 2 3
3 3 3 3
3 4 3 4
3 5 3 5
3 6 3 6
4 1 1 4
4 2 2 4
4 3 3 4
4 4 4 4
4 5 4 5
4 6 4 6
5 1 1 5
5 2 2 5
5 3 3 5
5 4 4 5
5 5 5 5
5 6 5 6
6 1 1 6
6 2 2 6
6 3 3 6
6 4 4 6
6 5 5 6
6 6 6 6

Passo 5

Agora, vamos identificar quais dessas combinações satisfazem a condição Y < X + 2. Ou seja, queremos que o maior valor ( Y) seja menos que o menor valor ( X) mais 2.
Vamos analisar cada linha da tabela:
Por exemplo:
  • Se X = 1, então Y deve ser menor que 1 + 2 = 3. Então, Y < 3.
    • Olhando na tabela, as combinações que satisfazem isso são quando Y = 1 ou Y = 2.
  • Se X = 2, então Y deve ser menor que 2 + 2 = 4. Então, Y < 4.
    • Aqui, Y = 2 ou Y = 3.
  • E assim por diante até X = 6.
Vamos contar quantas combinações atendem a essa condição:
  • Para X = 1: Y = 1, 2 → 2 combinações
  • Para X = 2: Y = 2, 3 → 2 combinações
  • Para X = 3: Y = 3, 4 → 2 combinações
  • Para X = 4: Y = 4, 5 → 2 combinações
  • Para X = 5: Y = 5, 6 → 2 combinações
  • Para X = 6: Y = 6 → 1 combinação (já que 6 + 2 = 8, mas Y não pode ser maior que 6)
Total de combinações favoráveis: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 11

Passo 6

Agora, vamos calcular a probabilidade desejada usando a fórmula:
P(Y < X + 2) = Número de combinações favoráveisNúmero total de combinações = 1136 úçõáúçõ

Resposta

A probabilidade de que Y seja menor que X + 2 é 1136.

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