Suponha o lançamento de dois dados justos. Para esse experimento defina as seguintes variáveis aleatórias:
menor valor observado,
maior valor observado.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com probabilidade, especificamente com o lançamento de dois dados justos. As variáveis aleatórias são
, que é o menor valor observado, e
, que é o maior valor observado. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de que
seja menor que
, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantos resultados possíveis existem quando lançamos dois dados. Cada dado tem 6 faces, então o número total de combinações possíveis é
.
Passo 3
Agora, vamos definir as variáveis:
-
é o menor valor que aparece nos dois dados. -
é o maior valor que aparece nos dois dados.
Isso significa que para cada resultado dos dois dados, a gente identifica qual é o menor e qual é o maior número.
Passo 4
Vamos listar todas as combinações possíveis dos dois dados e determinar os valores de
e
para cada uma:
Dado 1 | Dado 2 |
|
|
---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 2 | 1 | 2 |
1 | 3 | 1 | 3 |
1 | 4 | 1 | 4 |
1 | 5 | 1 | 5 |
1 | 6 | 1 | 6 |
2 | 1 | 1 | 2 |
2 | 2 | 2 | 2 |
2 | 3 | 2 | 3 |
2 | 4 | 2 | 4 |
2 | 5 | 2 | 5 |
2 | 6 | 2 | 6 |
3 | 1 | 1 | 3 |
3 | 2 | 2 | 3 |
3 | 3 | 3 | 3 |
3 | 4 | 3 | 4 |
3 | 5 | 3 | 5 |
3 | 6 | 3 | 6 |
4 | 1 | 1 | 4 |
4 | 2 | 2 | 4 |
4 | 3 | 3 | 4 |
4 | 4 | 4 | 4 |
4 | 5 | 4 | 5 |
4 | 6 | 4 | 6 |
5 | 1 | 1 | 5 |
5 | 2 | 2 | 5 |
5 | 3 | 3 | 5 |
5 | 4 | 4 | 5 |
5 | 5 | 5 | 5 |
5 | 6 | 5 | 6 |
6 | 1 | 1 | 6 |
6 | 2 | 2 | 6 |
6 | 3 | 3 | 6 |
6 | 4 | 4 | 6 |
6 | 5 | 5 | 6 |
6 | 6 | 6 | 6 |
Passo 5
Agora, vamos identificar quais dessas combinações satisfazem a condição
. Ou seja, queremos que o maior valor (
) seja menos que o menor valor (
) mais 2.
Vamos analisar cada linha da tabela:
Por exemplo:
- Se
, então deve ser menor que . Então, . - Olhando na tabela, as combinações que satisfazem isso são quando
ou .
- Olhando na tabela, as combinações que satisfazem isso são quando
- Se
, então deve ser menor que . Então, . - Aqui,
ou .
- Aqui,
- E assim por diante até
.
Vamos contar quantas combinações atendem a essa condição:
- Para
: → 2 combinações - Para
: → 2 combinações - Para
: → 2 combinações - Para
: → 2 combinações - Para
: → 2 combinações - Para
: → 1 combinação (já que , mas não pode ser maior que 6)
Total de combinações favoráveis:
Passo 6
Agora, vamos calcular a probabilidade desejada usando a fórmula:
Resposta
A probabilidade de que
seja menor que
é
.