Um estudante faz uma prova de 4 questões, cada uma do tipo verdadeiro ou falso. Assuma que ele chute as respostas em cada questão. Defina: X1= número de acertos nas 2 primeiras questões; X2= número de acertos nas 2 últimas questões.
Encontre as distribuições marginais de X1 e X2 e veja se estas são conhecidas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exame com 4 questões de verdadeiro ou falso e está chutando as respostas. Queremos descobrir como se comportam duas variáveis aleatórias: X1, que conta quantos acertos você tem nas primeiras 2 questões, e X2, que conta os acertos nas últimas 2 questões. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade, especialmente a distribuição binomial, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela serve para contar o número de sucessos em um certo número de tentativas, onde cada tentativa tem duas opções (como certo ou errado) e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada uma. No seu caso, cada questão é uma tentativa, e “acertar” é o sucesso.

Passo 3

Como você está chutando as respostas, a probabilidade de acertar cada questão é de 50%, ou seja, $ p = 0.5 p = 0.5 ãõáX_{1}$ e X1), o número de tentativas $ n = 2 $.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula da distribuição binomial para encontrar a probabilidade de ter 0, 1 ou 2 acertos em 2 questões:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações,
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso,
  • $ k $ é o número de sucessos que queremos.

Passo 5

Calculando para $ k = 0 $:
k = 0
Para $ k = 1 $:
P(X = 0) = binom20 (0.5)^0 (0.5)^2 = 1 times 1 times 0.25 = 0.25
Para $ k = 2 $:
k = 1

Passo 6

Então, tanto para $ X_{1} $ quanto para $ X_{2} $, a distribuição das probabilidades dos possíveis acertos (0, 1 ou 2) é a mesma:
X1

Passo 7

Agora, vamos verificar se essa distribuição é conhecida. Já que estamos falando de contar o número de acertos em um número fixo de tentativas com probabilidades iguais, estamos justamente lidando com a distribuição binomial.

Resposta

As distribuições marginais de $ X_{1} $ e $ X_{2} $ são distribuições binomiais com parâmetros $ n = 2 $ e $ p = 0.5 $. Portanto:
X1
E sim, essas são distribuições binomiais conhecidas.

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