Um estudante faz uma prova de 4 questões, cada uma do tipo verdadeiro ou falso. Assuma que ele chute as respostas em cada questão. Defina:
número de acertos nas 2 primeiras questões;
número de acertos nas 2 últimas questões.
Encontre as distribuições marginais de
e
e veja se estas são conhecidas.
Encontre as distribuições marginais de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exame com 4 questões de verdadeiro ou falso e está chutando as respostas. Queremos descobrir como se comportam duas variáveis aleatórias:
, que conta quantos acertos você tem nas primeiras 2 questões, e
, que conta os acertos nas últimas 2 questões. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade, especialmente a distribuição binomial, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela serve para contar o número de sucessos em um certo número de tentativas, onde cada tentativa tem duas opções (como certo ou errado) e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada uma. No seu caso, cada questão é uma tentativa, e “acertar” é o sucesso.
Passo 3
Como você está chutando as respostas, a probabilidade de acertar cada questão é de 50%, ou seja, $ p = 0.5
X_{1}$ e
), o número de tentativas $ n = 2 $.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula da distribuição binomial para encontrar a probabilidade de ter 0, 1 ou 2 acertos em 2 questões:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações,
- $ p $ é a probabilidade de sucesso,
- $ k $ é o número de sucessos que queremos.
Passo 5
Calculando para $ k = 0 $:
Para $ k = 1 $:
Para $ k = 2 $:
Passo 6
Então, tanto para $ X_{1} $ quanto para $ X_{2} $, a distribuição das probabilidades dos possíveis acertos (0, 1 ou 2) é a mesma:
Passo 7
Agora, vamos verificar se essa distribuição é conhecida. Já que estamos falando de contar o número de acertos em um número fixo de tentativas com probabilidades iguais, estamos justamente lidando com a distribuição binomial.
Resposta
As distribuições marginais de $ X_{1} $ e $ X_{2} $ são distribuições binomiais com parâmetros $ n = 2 $ e $ p = 0.5 $. Portanto:
E sim, essas são distribuições binomiais conhecidas.