A função de probabilidade de uma variável aleatória bidimensional é dada pela tabela abaixo. Calcule o que se pede nos itens a seguir.
Y X 0 1
0 0,07 0,17
1 0,03 a 0,04
2 0,13 0,05 0,00
3 0,02 0,00
0,00
P(X>Y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A gente tem uma tabela que mostra a função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $. Nosso objetivo é calcular $ P(X > Y) $, que é a probabilidade de $ X $ ser maior que $ Y $. Para isso, vamos precisar entender tabelas de distribuição conjunta e como somar probabilidades específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos completar a tabela. Notamos que tem uma célula com $ a $, que é um valor desconhecido. Como todas as probabilidades na tabela devem somar 1, vamos usar isso para encontrar $ a $.

Passo 3

Vamos somar todas as probabilidades conhecidas na tabela:
0,07 + 0,17 + 0,03 + a + 0,04 + 0,13 + 0,05 + 0,00 + 0,02 + 0,00 = 0,51 + a
Sabemos que a soma total deve ser 1:
0,51 + a = 1 implies a = 1 - 0,51 = 0,49
Então, $ a = 0,49 $.

Passo 4

Agora que temos todos os valores preenchidos na tabela, vamos visualizar ela completa:
$ Y $ $ X $ 0 1 2
0 0,07 0,17
1 0,03 0,49 0,04
2 0,13 0,05 0,00
3 0,02 0,00

Passo 5

Agora, vamos calcular $ P(X > Y) $. Isso significa que precisamos somar todas as probabilidades onde o valor de $ X $ é maior que o de $ Y $.
Vamos analisar cada caso:
  • Quando $ Y = 0 $:
    • $ X $ pode ser 1 ou 2 (já que ambos são maiores que 0)
    • Probabilidades: 0,17 (para $ X = 1 $) e não temos valor para $ X = 2 $, assumindo que é 0.
  • Quando $ Y = 1 $:
    • $ X $ pode ser 2 (maior que 1)
    • Probabilidade: 0,04
  • Quando $ Y = 2 $:
    • $ X $ pode ser 3, mas não temos essa coluna, então consideramos 0.
  • Quando $ Y = 3 $:
    • Não há valores de $ X $ maiores que 3, então 0.
Agora, somamos essas probabilidades:
P(X > Y)

Resposta

A probabilidade de $ X $ ser maior que $ Y $ é 0,21.

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