Suponha que de um baralho sejam retiradas duas cartas, ao acaso e com reposição. Seja X a v.a. que representa o número de ases e seja Y a v.a. que representa o número de damas.
Repita o exercício para o caso de as retiradas serem sem reposição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a situação de tirar duas cartas de um baralho, primeiro com reposição e depois sem reposição. A gente vai trabalhar com duas variáveis aleatórias: $ X $, que conta quantos ases tiramos, e $ Y $, que conta quantas damas (ou rainhas) tiramos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade básica, como calcular eventos com reposição (onde colocamos a carta de volta no baralho após a retirada) e sem reposição (onde não colocamos a carta de volta). Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caso com reposição. Isso significa que a cada retirada, a carta é colocada de volta no baralho antes da próxima retirada. Assim, as probabilidades permanecem as mesmas em cada extração.
Um baralho padrão tem 52 cartas, sendo 4 ases e 4 damas.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de tirar um ás em uma única retirada. Como há 4 ases em 52 cartas, a probabilidade é:
P(ás) = 452 = 113 á
Da mesma forma, a probabilidade de tirar uma dama é:
P(dama) = 452 = 113

Passo 4

Agora, como estamos tirando duas cartas com reposição, cada retirada é independente. Ou seja, o resultado de uma não afeta o outro. Vamos calcular as possíveis combinações para $ X $ (número de ases) e $ Y $ (número de damas):
  • Nenhum ás e nenhuma dama ($ X=0, Y=0 $):
    X
  • Um ás e nenhuma dama ($ X=1, Y=0 $):
    Y
  • Dois ases ($ X=2, Y=0 $):
    X=0, Y=0
Fazendo o mesmo para as damas:
  • Nenhum ás e uma dama ($ X=0, Y=1 $):
    P(X=0, Y=0) = (1 - 113 - 113)^2 = (1113)^2 = 121169
  • Nenhum ás e duas damas ($ X=0, Y=2 $):
    X=1, Y=0

Passo 5

Vamos resumir as probabilidades para o caso com reposição:
P(X=0, Y=0) &= 121169 P(X=1, Y=0) &= 22169 P(X=2, Y=0) &= 1169 P(X=0, Y=1) &= 22169 P(X=0, Y=2) &= 1169

Passo 6

Agora, vamos analisar o caso sem reposição. Aqui, a cada retirada, a carta não é colocada de volta no baralho, então as probabilidades mudam após a primeira retirada.
Vamos calcular as probabilidades para $ X $ e $ Y $ nesse cenário.

Passo 7

Primeiro, calculamos a probabilidade de tirar um ás na primeira retirada:
P(ás na 1ª) = 452 = 113 áª
Se tirarmos um ás na primeira, na segunda retirada ainda restam 3 ases e 51 cartas:
P(ás na 2ª | ás na 1ª) = 351 = 117 áªáª
Da mesma forma, se tirarmos uma dama na primeira retirada:
P(dama na 1ª) = 452 = 113 ª
E se já tiramos uma dama, na segunda existem 3 damas e 51 cartas:
P(dama na 2ª | dama na 1ª) = 351 = 117 ªª

Passo 8

Vamos calcular as combinações para $ X $ e $ Y $ sem reposição:
  • Nenhum ás e nenhuma dama ($ X=0, Y=0 $):
    X
  • Um ás e nenhuma dama ($ X=1, Y=0 $):
    Y
  • Dois ases ($ X=2, Y=0 $):
    X=0, Y=0
Fazendo o mesmo para as damas:
  • Nenhum ás e uma dama ($ X=0, Y=1 $):
    P(X=0, Y=0) = 4452 times 4351 = 44 times 4352 times 51 = 18922652 approx 0,713
  • Nenhum ás e duas damas ($ X=0, Y=2 $):
    X=1, Y=0

Passo 9

Resumindo as probabilidades para o caso sem reposição:
P(X=0, Y=0) &approx 0,713 P(X=1, Y=0) &approx 0,137 P(X=2, Y=0) &approx 0,005 P(X=0, Y=1) &approx 0,139 P(X=0, Y=2) &approx 0,005

Resposta

Calculamos as probabilidades para o número de ases ($ X X Y $) ao tirar duas cartas de um baralho:
  • Com reposição:
    Y
  • Sem reposição:
    P(X=0, Y=0) &= 121169 P(X=1, Y=0) &= 22169 P(X=2, Y=0) &= 1169 P(X=0, Y=1) &= 22169 P(X=0, Y=2) &= 1169
Esses valores mostram as diferentes probabilidades de obter ases e damas nas duas cartas retiradas, considerando se a reposição foi feita ou não.

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