Suponha que de um baralho sejam retiradas duas cartas, ao acaso e com reposição. Seja
a v.a. que representa o número de ases e seja
a v.a. que representa o número de damas.
Repita o exercício para o caso de as retiradas serem sem reposição.
Repita o exercício para o caso de as retiradas serem sem reposição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a situação de tirar duas cartas de um baralho, primeiro com reposição e depois sem reposição. A gente vai trabalhar com duas variáveis aleatórias: $ X $, que conta quantos ases tiramos, e $ Y $, que conta quantas damas (ou rainhas) tiramos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade básica, como calcular eventos com reposição (onde colocamos a carta de volta no baralho após a retirada) e sem reposição (onde não colocamos a carta de volta). Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caso com reposição. Isso significa que a cada retirada, a carta é colocada de volta no baralho antes da próxima retirada. Assim, as probabilidades permanecem as mesmas em cada extração.
Um baralho padrão tem 52 cartas, sendo 4 ases e 4 damas.
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de tirar um ás em uma única retirada. Como há 4 ases em 52 cartas, a probabilidade é:
Da mesma forma, a probabilidade de tirar uma dama é:
Passo 4
Agora, como estamos tirando duas cartas com reposição, cada retirada é independente. Ou seja, o resultado de uma não afeta o outro. Vamos calcular as possíveis combinações para $ X $ (número de ases) e $ Y $ (número de damas):
-
Nenhum ás e nenhuma dama ($ X=0, Y=0 $):
-
Um ás e nenhuma dama ($ X=1, Y=0 $):
-
Dois ases ($ X=2, Y=0 $):
Fazendo o mesmo para as damas:
-
Nenhum ás e uma dama ($ X=0, Y=1 $):
-
Nenhum ás e duas damas ($ X=0, Y=2 $):
Passo 5
Vamos resumir as probabilidades para o caso com reposição:
Passo 6
Agora, vamos analisar o caso sem reposição. Aqui, a cada retirada, a carta não é colocada de volta no baralho, então as probabilidades mudam após a primeira retirada.
Vamos calcular as probabilidades para $ X $ e $ Y $ nesse cenário.
Passo 7
Primeiro, calculamos a probabilidade de tirar um ás na primeira retirada:
Se tirarmos um ás na primeira, na segunda retirada ainda restam 3 ases e 51 cartas:
Da mesma forma, se tirarmos uma dama na primeira retirada:
E se já tiramos uma dama, na segunda existem 3 damas e 51 cartas:
Passo 8
Vamos calcular as combinações para $ X $ e $ Y $ sem reposição:
-
Nenhum ás e nenhuma dama ($ X=0, Y=0 $):
-
Um ás e nenhuma dama ($ X=1, Y=0 $):
-
Dois ases ($ X=2, Y=0 $):
Fazendo o mesmo para as damas:
-
Nenhum ás e uma dama ($ X=0, Y=1 $):
-
Nenhum ás e duas damas ($ X=0, Y=2 $):
Passo 9
Resumindo as probabilidades para o caso sem reposição:
Resposta
Calculamos as probabilidades para o número de ases ($ X
Y $) ao tirar duas cartas de um baralho:
-
Com reposição:
-
Sem reposição:
Esses valores mostram as diferentes probabilidades de obter ases e damas nas duas cartas retiradas, considerando se a reposição foi feita ou não.