Ache os pontos críticos, os extremos locais, os pontos de inflexão e represente as funções graficamente:
Passo 1
Beleza, a gente tem que achar os pontos críticos, extremos locais, pontos de inflexão e fazer o gráfico da função
. Para isso, vamos usar derivadas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a entender como a função se comporta, tipo onde ela cresce, diminui e onde muda de curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
, que nos ajuda a encontrar onde a função tem inclinações nulas (pontos críticos).
Passo 3
Agora, vamos achar os pontos críticos resolvendo
.
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, os pontos críticos estão em
e
.
Passo 4
Para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão, vamos usar a segunda derivada, que nos informa sobre a concavidade da função.
Calculando a segunda derivada:
Passo 5
Avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
Para
:
Como
, a função está concava para baixo nesse ponto, indicando que
é um ponto de máximo local.
Para
:
Como
, a função está concava para cima nesse ponto, indicando que
é um ponto de mínimo local.
Passo 6
Vamos achar os pontos de inflexão, onde a concavidade da função muda. Isso acontece onde a segunda derivada é zero.
Então, há um ponto de inflexão em
.
Passo 7
Para completar, vamos encontrar as coordenadas completas desses pontos calculando
para cada
.
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos críticos estão em
e
. Em
há um máximo local com coordenada
, e em
há um mínimo local com coordenada
. Além disso, a função tem um ponto de inflexão em
com coordenada
. O gráfico da função representa essas características, mostrando a curva subindo até
, descendo até
e mudando de concavidade em
.