Ache os pontos críticos, os extremos locais, os pontos de inflexão e represente as funções graficamente:

Passo 1

Beleza, a gente tem que achar os pontos críticos, extremos locais, pontos de inflexão e fazer o gráfico da função . Para isso, vamos usar derivadas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a entender como a função se comporta, tipo onde ela cresce, diminui e onde muda de curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de , que nos ajuda a encontrar onde a função tem inclinações nulas (pontos críticos).

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos críticos resolvendo .
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, os pontos críticos estão em e .

Passo 4

Para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão, vamos usar a segunda derivada, que nos informa sobre a concavidade da função.
Calculando a segunda derivada:

Passo 5

Avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
Para :
Como , a função está concava para baixo nesse ponto, indicando que é um ponto de máximo local.
Para :
Como , a função está concava para cima nesse ponto, indicando que é um ponto de mínimo local.

Passo 6

Vamos achar os pontos de inflexão, onde a concavidade da função muda. Isso acontece onde a segunda derivada é zero.
Então, há um ponto de inflexão em .

Passo 7

Para completar, vamos encontrar as coordenadas completas desses pontos calculando para cada .
Para :
Para :
Para :

Resposta

Os pontos críticos estão em e . Em há um máximo local com coordenada , e em há um mínimo local com coordenada . Além disso, a função tem um ponto de inflexão em com coordenada . O gráfico da função representa essas características, mostrando a curva subindo até , descendo até e mudando de concavidade em .

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