Seja
o custo associado à produção de determinado bem (
quantidade produzida).
Determinar a quantidade que produz custo mínimo.
Determinar a quantidade que produz custo mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! A gente tem uma função de custo
, onde
representa a quantidade produzida de um determinado bem. A missão é descobrir qual quantidade (
) vai fazer com que esse custo seja o menor possível. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo, mais especificamente de otimização, que ajudam a encontrar valores mínimos ou máximos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o ponto onde a função atinge seu valor mínimo, precisamos encontrar a derivada da função de custo em relação a
e igualá-la a zero. A derivada nos dá a taxa de variação do custo conforme a quantidade produzida muda, e o ponto onde essa taxa é zero é onde o custo pode ser mínimo ou máximo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
. Se a função for
, então a derivada em relação a
é:
Passo 4
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Resolvendo a equação acima para
:
Passo 6
Encontramos que
é o ponto crítico. Mas espera aí, faz sentido produzir uma quantidade negativa? Na prática, não. Porém, matematicamente, esse é o ponto onde a função de custo atinge seu mínimo.
Passo 7
Como não podemos ter uma quantidade negativa de produção, analisamos o comportamento da função. A função
é uma parábola com concavidade para cima (porque o coeficiente de
é positivo), o que significa que o mínimo ocorre exatamente em
. No contexto prático, isso pode indicar que o custo mínimo ocorre próximo de zero produção.
Resposta
A quantidade que minimiza o custo é
. Contudo, como produzir uma quantidade negativa não é viável, o custo mínimo na prática ocorre na produção de
unidades.
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Ache os pontos críticos, os extremos locais, os pontos de inflexão e represente as funções graficamente:
Determine a derivada das funções trigonométricas inversas:
Um produto tem preço unitário de venda de
e a função custo total é dada por
:
A função receita total;
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Um produto tem preço unitário de venda de
e a função custo total é dada por
:
A função lucro total;
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