Seja o custo associado à produção de determinado bem ( quantidade produzida).
Determinar a quantidade que produz custo mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! A gente tem uma função de custo , onde representa a quantidade produzida de um determinado bem. A missão é descobrir qual quantidade ( ) vai fazer com que esse custo seja o menor possível. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo, mais especificamente de otimização, que ajudam a encontrar valores mínimos ou máximos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o ponto onde a função atinge seu valor mínimo, precisamos encontrar a derivada da função de custo em relação a e igualá-la a zero. A derivada nos dá a taxa de variação do custo conforme a quantidade produzida muda, e o ponto onde essa taxa é zero é onde o custo pode ser mínimo ou máximo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . Se a função for , então a derivada em relação a é:

Passo 4

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Resolvendo a equação acima para :

Passo 6

Encontramos que é o ponto crítico. Mas espera aí, faz sentido produzir uma quantidade negativa? Na prática, não. Porém, matematicamente, esse é o ponto onde a função de custo atinge seu mínimo.

Passo 7

Como não podemos ter uma quantidade negativa de produção, analisamos o comportamento da função. A função é uma parábola com concavidade para cima (porque o coeficiente de é positivo), o que significa que o mínimo ocorre exatamente em . No contexto prático, isso pode indicar que o custo mínimo ocorre próximo de zero produção.

Resposta

A quantidade que minimiza o custo é . Contudo, como produzir uma quantidade negativa não é viável, o custo mínimo na prática ocorre na produção de unidades.

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