Um produto tem preço unitário de venda de
e a função custo total é dada por
:
A quantidade que gera lucro máximo.
A quantidade que gera lucro máximo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um produto que vende por R$ 7,00 cada e a função de custo total é
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a quantidade
que faz a gente ter o lucro máximo. Para isso, vamos precisar entender de funções de receita, custo e lucro, e usar um pouquinho de cálculo para achar esse ponto ótimo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função receita. Receita (
) é o quanto a gente ganha vendendo os produtos. Se cada unidade vende por R$ 7,00 e vendermos
unidades, a receita será:
Passo 3
Agora, já temos a função de custo total que é dada por:
Essa função nos mostra quanto custa produzir
unidades do produto.
Passo 4
O próximo passo é definir a função de lucro. Lucro (
) é a diferença entre a receita e o custo total:
Substituindo as funções que já temos:
Passo 5
Para encontrar o lucro máximo, vamos precisar encontrar o valor de
que faz a derivada da função de lucro ser zero. Isso porque nesse ponto, a inclinação da função é horizontal, indicando um ponto de máximo ou mínimo.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Passo 6
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo para
:
Passo 7
Finalmente, para confirmar que esse ponto resulta em um lucro máximo, podemos verificar a segunda derivada:
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que temos realmente um ponto de máximo.
Resposta
A quantidade que gera o lucro máximo é
unidades.
Exercícios relacionados
Seja
o custo associado à produção de determinado bem (
quantidade produzida).
Determinar o custo marginal associado;
Determinar o custo marginal associado;
Ache os pontos críticos, os extremos locais, os pontos de inflexão e represente as funções graficamente:
Determine a derivada das funções trigonométricas inversas:
Ache os pontos críticos, os extremos locais, os pontos de inflexão e represente as funções graficamente: