Um produto tem preço unitário de venda de e a função custo total é dada por :
A quantidade que gera lucro máximo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um produto que vende por R$ 7,00 cada e a função de custo total é . Nosso objetivo aqui é descobrir qual a quantidade que faz a gente ter o lucro máximo. Para isso, vamos precisar entender de funções de receita, custo e lucro, e usar um pouquinho de cálculo para achar esse ponto ótimo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função receita. Receita ( ) é o quanto a gente ganha vendendo os produtos. Se cada unidade vende por R$ 7,00 e vendermos unidades, a receita será:

Passo 3

Agora, já temos a função de custo total que é dada por:
Essa função nos mostra quanto custa produzir unidades do produto.

Passo 4

O próximo passo é definir a função de lucro. Lucro ( ) é a diferença entre a receita e o custo total:
Substituindo as funções que já temos:

Passo 5

Para encontrar o lucro máximo, vamos precisar encontrar o valor de que faz a derivada da função de lucro ser zero. Isso porque nesse ponto, a inclinação da função é horizontal, indicando um ponto de máximo ou mínimo.
Primeiro, calculamos a derivada de :

Passo 6

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo para :

Passo 7

Finalmente, para confirmar que esse ponto resulta em um lucro máximo, podemos verificar a segunda derivada:
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que temos realmente um ponto de máximo.

Resposta

A quantidade que gera o lucro máximo é unidades.

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Seja o custo associado à produção de determinado bem ( quantidade produzida).
Determinar o custo marginal associado;
Ache os pontos críticos, os extremos locais, os pontos de inflexão e represente as funções graficamente:
Determine a derivada das funções trigonométricas inversas:
Ache os pontos críticos, os extremos locais, os pontos de inflexão e represente as funções graficamente: