Ache os pontos críticos das funções abaixo e determine as suas naturezas (máximos ou mínimos locais ou pontos de sela): f(x, y) = x^3 + (x - y)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar os pontos críticos da função e determinar se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela. Esse tipo de problema está relacionado a cálculo multivariável, especificamente no estudo de derivadas parciais e análise de pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função se comporta quando mudamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Da segunda equação, temos:
Substituindo na primeira equação:
E, consequentemente, .
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Para determinar a natureza desse ponto crítico, vamos calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante da função. As segundas derivadas são:
O discriminante é dado por:

Passo 5

Vamos avaliar o discriminante no ponto crítico :
Quando o discriminante , o teste é inconclusivo, o que significa que precisamos analisar a função de outra maneira para determinar a natureza do ponto crítico. Observando a função , percebemos que ao fixar , a função se comporta como , que tem um ponto de inflexão em . Portanto, é um ponto de sela.

Resposta

O ponto crítico da função é e ele é um ponto de sela.

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