Ache os pontos críticos das funções abaixo e determine as suas naturezas (máximos ou mínimos locais ou pontos de sela):
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar os pontos críticos da função
e determinar se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela. Esse tipo de problema está relacionado a cálculo multivariável, especificamente no estudo de derivadas parciais e análise de pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função se comporta quando mudamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Da segunda equação, temos:
Substituindo
na primeira equação:
E, consequentemente,
.
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para determinar a natureza desse ponto crítico, vamos calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante da função. As segundas derivadas são:
O discriminante
é dado por:
Passo 5
Vamos avaliar o discriminante no ponto crítico
:
Quando o discriminante
, o teste é inconclusivo, o que significa que precisamos analisar a função de outra maneira para determinar a natureza do ponto crítico. Observando a função
, percebemos que ao fixar
, a função se comporta como
, que tem um ponto de inflexão em
. Portanto,
é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico da função é
e ele é um ponto de sela.