Vimos em aula que para calcular o máximo e o mínimo absoluto de uma função z = f(x, y) em uma região fechada do plano, devemos: (1) calcular o valor de f nos pontos críticos pertencentes ao interior da região. (2) Comparar esses valores com o maior e o menor valor de f na fronteira da região.
Determine o máximo e o mínimo absoluto da função f(x, y) = x + y^2 no disco de centro 2,0 e raio 1. (Sugestão: para calcular o maior e o menor valor de f ao longo do círculo, use o multiplicador de Lagrange).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo absolutos da função dentro de um disco que tem centro em e raio 1. Para isso, vamos seguir os passos que aprendemos em aula: primeiro, achar os pontos críticos dentro da região, e depois comparar esses valores com os valores na fronteira do disco usando o multiplicador de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do disco. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
ãéí
Como não conseguimos satisfazer , isso significa que não há pontos críticos dentro do disco.

Passo 3

Agora, vamos analisar os valores da função na fronteira do disco. A fronteira é um círculo com centro em e raio 1. Para facilitar os cálculos, vamos usar a parametrização do círculo:
onde varia de 0 a .
Substituindo essas expressões na função :
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 4

Para encontrar os máximos e mínimos dessa função em , vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Isso nos dá:
Então, temos duas possibilidades:

Passo 5

Agora, vamos calcular para esses valores de :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 6

Comparando os valores obtidos na fronteira:
Como não há pontos críticos dentro do disco, o máximo absoluto é 3.25 e o mínimo absoluto é 1.

Resposta

O máximo absoluto da função é e o mínimo absoluto é no disco de centro e raio 1.

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