Vimos em aula que para calcular o máximo e o mínimo absoluto de uma função z = f(x, y) em uma região fechada do plano, devemos: (1) calcular o valor de f nos pontos críticos pertencentes ao interior da região. (2) Comparar esses valores com o maior e o menor valor de f na fronteira da região.
Determine o máximo e o mínimo absoluto da função f(x, y) = x + y^2 no disco de centro 2,0 e raio 1. (Sugestão: para calcular o maior e o menor valor de f ao longo do círculo, use o multiplicador de Lagrange).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo absolutos da função dentro de um disco que tem centro em e raio 1. Para isso, vamos seguir os passos que aprendemos em aula: primeiro, achar os pontos críticos dentro da região, e depois comparar esses valores com os valores na fronteira do disco usando o multiplicador de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do disco. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
ãéí
Como não conseguimos satisfazer , isso significa que não há pontos críticos dentro do disco.

Passo 3

Agora, vamos analisar os valores da função na fronteira do disco. A fronteira é um círculo com centro em e raio 1. Para facilitar os cálculos, vamos usar a parametrização do círculo:
onde varia de 0 a .
Substituindo essas expressões na função :
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 4

Para encontrar os máximos e mínimos dessa função em , vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Isso nos dá:
Então, temos duas possibilidades:

Passo 5

Agora, vamos calcular para esses valores de :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 6

Comparando os valores obtidos na fronteira:
Como não há pontos críticos dentro do disco, o máximo absoluto é 3.25 e o mínimo absoluto é 1.

Resposta

O máximo absoluto da função é e o mínimo absoluto é no disco de centro e raio 1.

Exercícios relacionados

<html><head></head><body><div>Ache os pontos críticos das funções abaixo e determine as suas naturezas (máximos ou mínimos locais ou pontos de sela): <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Ache os pontos críticos das funções abaixo e determine as suas naturezas (máximos ou mínimos locais ou pontos de sela): <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“22.394ex” height=“2.452ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 9898.2 1083.9”><title>f(x, y) = x^3 + (x - y)^2</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g><g 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331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(9072.7,0)”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(422,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>.</div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Ache os pontos críticos das funções abaixo e determine as suas naturezas (máximos ou mínimos locais ou pontos de sela): <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“20.471ex” height=“2.47ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -841.7 9048.2 1091.7”><title>f(x, y) = 1 - x^4 - y^4</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g><g 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<html><head></head><body><div>Ache o máximo e o mínimo absoluto de cada uma das seguintes funções: <span class="math-inline ">
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http://www.w3.org/2000/svg” width=“17.041ex” height=“2.721ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -952.7 7532.3 1202.7”><title>f(x, y) = e(x2 + y^2 + y)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g><g 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