Vimos em aula que para calcular o máximo e o mínimo absoluto de uma função
em uma região fechada do plano, devemos: (1) calcular o valor de
nos pontos críticos pertencentes ao interior da região. (2) Comparar esses valores com o maior e o menor valor de
na fronteira da região.
Determine o máximo e o mínimo absoluto da função
no disco de centro
e raio 1. (Sugestão: para calcular o maior e o menor valor de
ao longo do círculo, use o multiplicador de Lagrange).
Determine o máximo e o mínimo absoluto da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo absolutos da função
dentro de um disco que tem centro em
e raio 1. Para isso, vamos seguir os passos que aprendemos em aula: primeiro, achar os pontos críticos dentro da região, e depois comparar esses valores com os valores na fronteira do disco usando o multiplicador de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do disco. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
Como não conseguimos satisfazer
, isso significa que não há pontos críticos dentro do disco.
Passo 3
Agora, vamos analisar os valores da função na fronteira do disco. A fronteira é um círculo com centro em
e raio 1. Para facilitar os cálculos, vamos usar a parametrização do círculo:
onde
varia de 0 a
.
Substituindo essas expressões na função
:
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica
:
Passo 4
Para encontrar os máximos e mínimos dessa função em
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Isso nos dá:
Então, temos duas possibilidades:
-
→ -
→ →
Passo 5
Agora, vamos calcular
para esses valores de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 6
Comparando os valores obtidos na fronteira:
Como não há pontos críticos dentro do disco, o máximo absoluto é 3.25 e o mínimo absoluto é 1.
Resposta
O máximo absoluto da função é
e o mínimo absoluto é
no disco de centro
e raio 1.