Ache os pontos críticos das funções abaixo e determine as suas naturezas (máximos ou mínimos locais ou pontos de sela):
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver o exercício que pede para achar os pontos críticos da função
e determinar se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela. Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente encontrar derivadas parciais e analisar a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. Os pontos críticos ocorrem onde essas derivadas são iguais a zero.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos.
Para
:
Como
nunca é zero, temos:
Para
:
Igualmente,
não é zero, então:
Passo 4
Vamos combinar as soluções encontradas:
-
Se
: - Da equação de
, pode ser qualquer valor, mas vamos verificar com . Como , isso satisfaz ambas as equações. - Portanto, temos uma linha de pontos críticos ao longo de
.
- Da equação de
-
Se
: - Da equação de
, temos . - Portanto, os pontos críticos são
e .
- Da equação de
Passo 5
Agora, vamos determinar a natureza desses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Simplificando, fica:
Calculamos o discriminante:
Passo 6
Vamos avaliar o discriminante
nos pontos críticos encontrados.
-
Para os pontos ao longo de
: -
-
-
-
- Então,
Quando o discriminante é zero, o teste é inconclusivo. Nesse caso, a linhaé uma linha de pontos de sela. -
-
Para os pontos
e : -
, -
-
-
- Então,
Comoe , isso indica que ambos os pontos são máximos locais. -
Resposta
Os pontos críticos da função são todos os pontos ao longo de
, que são pontos de sela, e os pontos
e
, que são máximos locais.