Ache os pontos críticos das funções abaixo e determine as suas naturezas (máximos ou mínimos locais ou pontos de sela): f(x, y) = 4 * y^2 * e^(-(x^2 + y^2)).

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver o exercício que pede para achar os pontos críticos da função e determinar se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela. Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente encontrar derivadas parciais e analisar a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Os pontos críticos ocorrem onde essas derivadas são iguais a zero.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos.
Para :
Como nunca é zero, temos:
Para :
Igualmente, não é zero, então:

Passo 4

Vamos combinar as soluções encontradas:
  1. Se :
    • Da equação de , pode ser qualquer valor, mas vamos verificar com . Como , isso satisfaz ambas as equações.
    • Portanto, temos uma linha de pontos críticos ao longo de .
  2. Se :
    • Da equação de , temos .
    • Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 5

Agora, vamos determinar a natureza desses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Simplificando, fica:
Calculamos o discriminante:

Passo 6

Vamos avaliar o discriminante nos pontos críticos encontrados.
  1. Para os pontos ao longo de :
    • Então,
    Quando o discriminante é zero, o teste é inconclusivo. Nesse caso, a linha é uma linha de pontos de sela.
  2. Para os pontos e :
    • ,
    • Então,
    Como e , isso indica que ambos os pontos são máximos locais.

Resposta

Os pontos críticos da função são todos os pontos ao longo de , que são pontos de sela, e os pontos e , que são máximos locais.

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