Considere o seguinte problema de valores de contorno:
y'' + pi^2 y = 0, y(0) = 0, y(1) = 0
Sobre este problema, é correto afirmar que:
a Possui a função y(x) = e^(1 pi x) como solução.
18 Possui apenas solução trivial.
c Possui a função y(x) = sen(1 pi x) como solução.
d Não possui solução.
e Possui a função y(x) = cos(1 pi x) como solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos fala sobre um problema de valores de contorno, que é um tipo de equação diferencial. A equação dada é com as condições de e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias e soluções de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral das soluções depende das raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica associada é . Resolvendo para , temos . Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar e .
Para :

Passo 5

Com , a solução fica:
A segunda condição de contorno é :
Como , essa equação é satisfeita para qualquer valor de . Portanto, temos uma família de soluções não triviais.

Resposta

c) Possui a função como solução.

Exercícios relacionados