Considere o seguinte problema de valores de contorno:
Sobre este problema, é correto afirmar que:
a Possui a função
como solução.
18 Possui apenas solução trivial.
c Possui a função
como solução.
d Não possui solução.
e Possui a função
como solução.
a Possui a função
18 Possui apenas solução trivial.
c Possui a função
d Não possui solução.
e Possui a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos fala sobre um problema de valores de contorno, que é um tipo de equação diferencial. A equação dada é
com as condições de
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias e soluções de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral das soluções depende das raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica associada é
. Resolvendo para
, temos
. Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar
e
.
Para
:
Passo 5
Com
, a solução fica:
A segunda condição de contorno é
:
Como
, essa equação é satisfeita para qualquer valor de
. Portanto, temos uma família de soluções não triviais.
Resposta
c) Possui a função
como solução.