Ache os pontos críticos das funções abaixo e determine as suas naturezas (máximos ou mínimos locais ou pontos de sela): f(x, y) = 1 - x^4 - y^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e queremos encontrar os pontos críticos dela. Esses pontos são onde a função pode ter máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando mudamos uma variável e mantemos a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos para e :
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Para determinar a natureza desse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
No ponto , temos:

Passo 5

Com isso, o determinante da matriz hessiana é:
Quando , o teste é inconclusivo. Mas observando a função , percebemos que para qualquer diferente de , . Isso indica que é um máximo local.

Resposta

O único ponto crítico é e é um máximo local da função .

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