Ache os pontos críticos das funções abaixo e determine as suas naturezas (máximos ou mínimos locais ou pontos de sela):
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e queremos encontrar os pontos críticos dela. Esses pontos são onde a função pode ter máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando mudamos uma variável e mantemos a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos para
e
:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para determinar a natureza desse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
No ponto
, temos:
Passo 5
Com isso, o determinante da matriz hessiana
é:
Quando
, o teste é inconclusivo. Mas observando a função
, percebemos que para qualquer
diferente de
,
. Isso indica que
é um máximo local.
Resposta
O único ponto crítico é
e é um máximo local da função
.