Ache os pontos sobre a curva y = 2x^3 + 3x^2 − 12x + 1 onde a tangente é horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos na curva definida por $ y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1 $ onde a tangente é horizontal. Isso envolve conceitos de derivadas, que fazem parte do estudo de cálculo diferencial. Vamos precisar calcular a derivada da função para descobrir onde sua inclinação é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função $ y = f(x) $ nos diz a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Se a tangente é horizontal, a inclinação é zero. Então, precisamos encontrar $ f’(x) $ e igualar a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1 $. Usamos a regra do poder, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $. Aplicando isso:
Então, a derivada simplificada é:
Passo 4
Agora, queremos encontrar onde essa derivada é igual a zero, porque é nesses pontos que a tangente é horizontal:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 6:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática $ x^2 + x - 2 = 0 $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -2 $. Substituindo:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 6
Agora que temos os valores de $ x $ onde a tangente é horizontal ($ x = 1 $ e $ x = -2 $), vamos encontrar os respectivos valores de $ y $ substituindo esses $ x $ na função original $ y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1 $.
Para $ x = 1 $:
Para $ x = -2 $:
Resposta
Os pontos na curva onde a tangente é horizontal são $ (1, -6) $ e $ (-2, 21) $.