Ache os pontos sobre a curva y = 2x^3 + 3x^2 − 12x + 1 onde a tangente é horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos na curva definida por $ y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1 $ onde a tangente é horizontal. Isso envolve conceitos de derivadas, que fazem parte do estudo de cálculo diferencial. Vamos precisar calcular a derivada da função para descobrir onde sua inclinação é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função $ y = f(x) $ nos diz a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Se a tangente é horizontal, a inclinação é zero. Então, precisamos encontrar $ f’(x) $ e igualar a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1 $. Usamos a regra do poder, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $. Aplicando isso:
y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1
x^n
Então, a derivada simplificada é:
n cdot x^n-1

Passo 4

Agora, queremos encontrar onde essa derivada é igual a zero, porque é nesses pontos que a tangente é horizontal:
6x^2 + 6x - 12 = 0
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 6:
x^2 + x - 2 = 0

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática $ x^2 + x - 2 = 0 $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x^2 + x - 2 = 0
Onde $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -2 $. Substituindo:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
a = 1
b = 1
Isso nos dá duas soluções:
c = -2
x = -1 pm raiz1^2 - 4 cdot 1 cdot (-2)2 cdot 1

Passo 6

Agora que temos os valores de $ x $ onde a tangente é horizontal ($ x = 1 $ e $ x = -2 $), vamos encontrar os respectivos valores de $ y $ substituindo esses $ x $ na função original $ y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1 $.
Para $ x = 1 $:
x
Para $ x = -2 $:
x = 1

Resposta

Os pontos na curva onde a tangente é horizontal são $ (1, -6) $ e $ (-2, 21) $.

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