Ache os pontos sobre a curva y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 11 nas quais a reta tangente é horizontal.

Passo 1

Então, temos a curva definida pela equação . O que queremos descobrir são os pontos nessa curva onde a reta tangente é horizontal. Isso significa que a inclinação da reta tangente nesses pontos é zero. Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo, especificamente a derivada da função, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos diz a taxa de variação de em relação a , ou seja, a inclinação da reta tangente.
A função dada é:
Calculando a derivada:
Então, a derivada é:

Passo 3

Agora, queremos encontrar onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja, a derivada nesse ponto deve ser igual a zero.
Então, vamos igualar a derivada a zero:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática . Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
Agora, fatorando a equação:
Portanto, as soluções são:

Passo 5

Com os valores de encontrados, vamos substituí-los na equação original para encontrar os correspondentes valores de .
Para :
Para :

Resposta

Os pontos onde a reta tangente à curva é horizontal são:

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