Ache os pontos sobre a curva
nas quais a reta tangente é horizontal.
Passo 1
Então, temos a curva definida pela equação
. O que queremos descobrir são os pontos nessa curva onde a reta tangente é horizontal. Isso significa que a inclinação da reta tangente nesses pontos é zero. Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo, especificamente a derivada da função, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos diz a taxa de variação de
em relação a
, ou seja, a inclinação da reta tangente.
A função dada é:
Calculando a derivada:
Então, a derivada é:
Passo 3
Agora, queremos encontrar onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja, a derivada nesse ponto deve ser igual a zero.
Então, vamos igualar a derivada a zero:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
. Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
Agora, fatorando a equação:
Portanto, as soluções são:
Passo 5
Com os valores de
encontrados, vamos substituí-los na equação original para encontrar os correspondentes valores de
.
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos onde a reta tangente à curva
é horizontal são:
Exercícios relacionados
Use os Teoremas de Rolle, do Valor Intermediário e/ou do Valor Médio para mostrar os seguintes itens:
(a) possui pelo menos uma raiz real.
(b) tem exatamente uma raiz real.
© .
(d) , para todo
.
(e) Dois corredores iniciam uma corrida ao mesmo tempo e terminam empatados. Prove que em algum momento durante a corrida eles têm a mesma velocidade.
(f) Se um carro levou para percorrer uma estrada do quilômetro 50 ao 240 , então houve pelo menos um instante no qual sua velocidade foi exatamente
.
(a)
(b)
©
(d)
(e) Dois corredores iniciam uma corrida ao mesmo tempo e terminam empatados. Prove que em algum momento durante a corrida eles têm a mesma velocidade.
(f) Se um carro levou
Calcule os seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
A soma de 3 números positivos é 15. O dobro do primeiro mais três vezes o segundo e mais quatro vezes o terceiro é 45. Escolha esses números de modo que o produto dos 3 seja máximo.
Se uma lata fechada com volume
deve ter a forma de um cilindro circular reto, ache a altura
e o raio
, se um mínimo de material deve ser usado em sua fabricação.