Ache os pontos sobre a curva nas quais a reta tangente é horizontal.

Passo 1

Então, temos a curva definida pela equação . O que queremos descobrir são os pontos nessa curva onde a reta tangente é horizontal. Isso significa que a inclinação da reta tangente nesses pontos é zero. Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo, especificamente a derivada da função, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos diz a taxa de variação de em relação a , ou seja, a inclinação da reta tangente.
A função dada é:
Calculando a derivada:
Então, a derivada é:

Passo 3

Agora, queremos encontrar onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja, a derivada nesse ponto deve ser igual a zero.
Então, vamos igualar a derivada a zero:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática . Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
Agora, fatorando a equação:
Portanto, as soluções são:

Passo 5

Com os valores de encontrados, vamos substituí-los na equação original para encontrar os correspondentes valores de .
Para :
Para :

Resposta

Os pontos onde a reta tangente à curva é horizontal são:

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Use os Teoremas de Rolle, do Valor Intermediário e/ou do Valor Médio para mostrar os seguintes itens:
(a) possui pelo menos uma raiz real.
(b) tem exatamente uma raiz real.
© .
(d) , para todo .
(e) Dois corredores iniciam uma corrida ao mesmo tempo e terminam empatados. Prove que em algum momento durante a corrida eles têm a mesma velocidade.
(f) Se um carro levou para percorrer uma estrada do quilômetro 50 ao 240 , então houve pelo menos um instante no qual sua velocidade foi exatamente .
Calcule os seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) .
A soma de 3 números positivos é 15. O dobro do primeiro mais três vezes o segundo e mais quatro vezes o terceiro é 45. Escolha esses números de modo que o produto dos 3 seja máximo.
Se uma lata fechada com volume deve ter a forma de um cilindro circular reto, ache a altura e o raio , se um mínimo de material deve ser usado em sua fabricação.