A soma de 3 números positivos é 15. O dobro do primeiro mais três vezes o segundo e mais quatro vezes o terceiro é 45. Escolha esses números de modo que o produto dos 3 seja máximo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema onde a soma de três números positivos é 15. Além disso, o dobro do primeiro número mais três vezes o segundo e mais quatro vezes o terceiro dá 45. Nosso objetivo é encontrar esses três números de maneira que o produto deles seja o maior possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e cálculo básico.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os três números de
,
e
. Sabemos que:
E também:
Essas são nossas duas equações principais.
Passo 3
Vamos resolver a primeira equação para uma das variáveis. Vamos resolver para
:
Isso nos dá uma expressão para
em termos de
e
.
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão de
na segunda equação:
Vamos distribuir o 2:
Passo 5
Vamos combinar os termos semelhantes:
Agora, subtraímos 30 de ambos os lados:
Agora temos uma relação entre
e
.
Passo 6
Vamos expressar
em termos de
:
Agora, temos expressões para
e
em termos de
:
Então,
.
Passo 7
Agora, queremos maximizar o produto
. Sabemos que
e
, então:
Passo 8
Para encontrar o valor de
que maximiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Igualando a zero:
Então,
ou
. Como estamos lidando com números positivos, descartamos
.
Passo 9
Portanto,
. Agora, encontramos
e
.
Resposta
Os três números são
,
e
, e o produto máximo é
.
Exercícios relacionados
Ache os pontos sobre a curva
nas quais a reta tangente é horizontal.
Use os Teoremas de Rolle, do Valor Intermediário e/ou do Valor Médio para mostrar os seguintes itens:
(a) possui pelo menos uma raiz real.
(b) tem exatamente uma raiz real.
© .
(d) , para todo
.
(e) Dois corredores iniciam uma corrida ao mesmo tempo e terminam empatados. Prove que em algum momento durante a corrida eles têm a mesma velocidade.
(f) Se um carro levou para percorrer uma estrada do quilômetro 50 ao 240 , então houve pelo menos um instante no qual sua velocidade foi exatamente
.
(a)
(b)
©
(d)
(e) Dois corredores iniciam uma corrida ao mesmo tempo e terminam empatados. Prove que em algum momento durante a corrida eles têm a mesma velocidade.
(f) Se um carro levou
Se uma lata fechada com volume
deve ter a forma de um cilindro circular reto, ache a altura
e o raio
, se um mínimo de material deve ser usado em sua fabricação.
Determine
, sabendo que
é uma reta que passa por
e é tangente à
.