A soma de 3 números positivos é 15. O dobro do primeiro mais três vezes o segundo e mais quatro vezes o terceiro é 45. Escolha esses números de modo que o produto dos 3 seja máximo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema onde a soma de três números positivos é 15. Além disso, o dobro do primeiro número mais três vezes o segundo e mais quatro vezes o terceiro dá 45. Nosso objetivo é encontrar esses três números de maneira que o produto deles seja o maior possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e cálculo básico.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os três números de , e . Sabemos que:
E também:
Essas são nossas duas equações principais.

Passo 3

Vamos resolver a primeira equação para uma das variáveis. Vamos resolver para :
Isso nos dá uma expressão para em termos de e .

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão de na segunda equação:
Vamos distribuir o 2:

Passo 5

Vamos combinar os termos semelhantes:
Agora, subtraímos 30 de ambos os lados:
Agora temos uma relação entre e .

Passo 6

Vamos expressar em termos de :
Agora, temos expressões para e em termos de :
Então, .

Passo 7

Agora, queremos maximizar o produto . Sabemos que e , então:

Passo 8

Para encontrar o valor de que maximiza , vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Igualando a zero:
Então, ou . Como estamos lidando com números positivos, descartamos .

Passo 9

Portanto, . Agora, encontramos e .

Resposta

Os três números são , e , e o produto máximo é .

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