Se uma lata fechada com volume deve ter a forma de um cilindro circular reto, ache a altura e o raio , se um mínimo de material deve ser usado em sua fabricação.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma lata fechada com volume de e ela é forma de um cilindro circular reto. A missão é encontrar a altura e o raio desse cilindro de modo que use a menor quantidade de material possível na fabricação. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de geometria dos cilindros e um pouco de cálculo para otimizar a quantidade de material.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas do cilindro. O volume de um cilindro é dado por:
E a área superficial (que representa a quantidade de material usado) é:
Aqui, é a área das duas bases e é a área da superfície lateral.

Passo 3

Como o volume é fixo em , podemos usar a fórmula do volume para expressar em função de :
Agora, substituindo na fórmula da área superficial, temos:
Agora, nossa função para minimizar é .

Passo 4

Para encontrar o valor de que minimiza a área superficial , vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:

Passo 5

Vamos resolver a equação:
Então, o raio que minimiza a área é de .

Passo 6

Agora que temos , vamos encontrar a altura usando a relação que encontramos no Passo 3:

Resposta

O raio é de e a altura é de para que a lata use a menor quantidade de material possível.

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