Se uma lata fechada com volume
deve ter a forma de um cilindro circular reto, ache a altura
e o raio
, se um mínimo de material deve ser usado em sua fabricação.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma lata fechada com volume de
e ela é forma de um cilindro circular reto. A missão é encontrar a altura
e o raio
desse cilindro de modo que use a menor quantidade de material possível na fabricação. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de geometria dos cilindros e um pouco de cálculo para otimizar a quantidade de material.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas do cilindro. O volume
de um cilindro é dado por:
E a área superficial
(que representa a quantidade de material usado) é:
Aqui,
é a área das duas bases e
é a área da superfície lateral.
Passo 3
Como o volume é fixo em
, podemos usar a fórmula do volume para expressar
em função de
:
Agora, substituindo
na fórmula da área superficial, temos:
Agora, nossa função para minimizar é
.
Passo 4
Para encontrar o valor de
que minimiza a área superficial
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:
Passo 5
Vamos resolver a equação:
Então, o raio
que minimiza a área é de
.
Passo 6
Agora que temos
, vamos encontrar a altura
usando a relação que encontramos no Passo 3:
Resposta
O raio
é de
e a altura
é de
para que a lata use a menor quantidade de material possível.
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nas quais a reta tangente é horizontal.
Determine
, sabendo que
é uma reta que passa por
e é tangente à
.
Seja
um polinômio de grau
. Verifique que uma raiz de
é dupla quando ela for raiz do polinômio e da sua derivada primeira, mas não for raiz da derivada segunda.