Ache a primitiva F(x) de f(x) = x^3 - 3 e^x que satisfaz a condição F(0) = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a primitiva da função que satisfaça a condição . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre antiderivadas e como aplicar condições iniciais para encontrar constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma primitiva. A primitiva de uma função é basicamente uma função cuja derivada é a função original. Para encontrar , vamos integrar cada termo de .

Passo 3

Vamos começar integrando . A regra para integrar potências de é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos integrar . A integral de é bem direta, já que a derivada de é ela mesma:

Passo 5

Juntando as duas integrais, temos a primitiva geral de :
Agora, vamos aplicar a condição para encontrar o valor de .

Passo 6

Substituindo na equação:

Resposta

A primitiva que satisfaz a condição dada é:

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