A mecânica quântica prevê que a força entre duas moléculas de gás separadas por uma distância é dada por
onde e são constantes reais. A energia potencial das moléculas de gás satisfaz a equação diferencial (equação envolvendo derivadas) . Além disso, quando . Com base nessas informações, encontre uma fórmula para em função de .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente tem uma força entre duas moléculas de gás que depende da distância entre elas. A fórmula dada é:
Nosso objetivo é encontrar a energia potencial em função de . Para isso, vamos usar o fato de que a força é a derivada negativa da energia potencial, ou seja:
Então, vamos precisar integrar essa força para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para expressar a derivada de :
Agora, para achar , precisamos integrar ambos os lados em relação a :

Passo 3

Vamos resolver a integral termo a termo. Lembre-se que a integral de é , desde que .
Primeiro, integraremos :
Depois, integraremos :

Passo 4

Juntando os dois resultados da integração, temos:
Onde é a constante de integração. Agora, usamos a condição de contorno que tende a 0 quando tende a infinito:
Quando vai para infinito, os termos e se tornam zero. Então, deve ser igual a zero para satisfazer a condição.

Resposta

A energia potencial em função de é:

Exercícios relacionados

Ache a primitiva de que satisfaz a condição .
Estime o valor dos seguintes números:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) .
Mostre que, para todo , vale a expressão: .
A função logaritmo natural é a função definida por
Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para verificar as seguintes propriedades:
(a)
(b) ;
© ;
(d) .