A mecânica quântica prevê que a força F entre duas moléculas de gás separadas por uma distância x é dada por
F = -A/x^7 + B/x^13
onde A e B são constantes reais. A energia potencial V das moléculas de gás satisfaz a equação diferencial (equação envolvendo derivadas) F = -dV/dx. Além disso, V -> 0 quando x -> infinito. Com base nessas informações, encontre uma fórmula para V em função de x.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente tem uma força entre duas moléculas de gás que depende da distância entre elas. A fórmula dada é:
Nosso objetivo é encontrar a energia potencial em função de . Para isso, vamos usar o fato de que a força é a derivada negativa da energia potencial, ou seja:
Então, vamos precisar integrar essa força para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para expressar a derivada de :
Agora, para achar , precisamos integrar ambos os lados em relação a :

Passo 3

Vamos resolver a integral termo a termo. Lembre-se que a integral de é , desde que .
Primeiro, integraremos :
Depois, integraremos :

Passo 4

Juntando os dois resultados da integração, temos:
Onde é a constante de integração. Agora, usamos a condição de contorno que tende a 0 quando tende a infinito:
Quando vai para infinito, os termos e se tornam zero. Então, deve ser igual a zero para satisfazer a condição.

Resposta

A energia potencial em função de é:

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