A mecânica quântica prevê que a força
entre duas moléculas de gás separadas por uma distância
é dada por
onde
e
são constantes reais. A energia potencial
das moléculas de gás satisfaz a equação diferencial (equação envolvendo derivadas)
. Além disso,
quando
. Com base nessas informações, encontre uma fórmula para
em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente tem uma força
entre duas moléculas de gás que depende da distância
entre elas. A fórmula dada é:
Nosso objetivo é encontrar a energia potencial
em função de
. Para isso, vamos usar o fato de que a força é a derivada negativa da energia potencial, ou seja:
Então, vamos precisar integrar essa força para achar
.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para expressar a derivada de
:
Agora, para achar
, precisamos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Vamos resolver a integral termo a termo. Lembre-se que a integral de
é
, desde que
.
Primeiro, integraremos
:
Depois, integraremos
:
Passo 4
Juntando os dois resultados da integração, temos:
Onde
é a constante de integração. Agora, usamos a condição de contorno que
tende a 0 quando
tende a infinito:
Quando
vai para infinito, os termos
e
se tornam zero. Então,
deve ser igual a zero para satisfazer a condição.
Resposta
A energia potencial
em função de
é:
Exercícios relacionados
Ache a primitiva
de
que satisfaz a condição
.
Estime o valor dos seguintes números:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Mostre que, para todo
, vale a expressão:
.
A função logaritmo natural é a função definida por
Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para verificar as seguintes propriedades:
(a)
(b) ;
© ;
(d) .
(a)
(b)
©
(d)