Mostre que, para todo
, vale a expressão:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, para qualquer número
diferente de zero, a integral de
em relação a
é igual a
. Vamos usar cálculo integral, especificamente a técnica de integração de funções racionais que se parecem com a função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de
tem uma forma padrão que envolve a função arco-tangente. A regra geral para integrar uma função da forma
é:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 3
Para entender por que essa fórmula funciona, podemos fazer uma substituição simples. Vamos definir uma nova variável
tal que:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
por
na integral original:
Sabemos que
, então:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
A mecânica quântica prevê que a força
entre duas moléculas de gás separadas por uma distância
é dada por
onde
e
são constantes reais. A energia potencial
das moléculas de gás satisfaz a equação diferencial (equação envolvendo derivadas)
. Além disso,
quando
. Com base nessas informações, encontre uma fórmula para
em função de
.
Ache a primitiva
de
que satisfaz a condição
.
A função logaritmo natural é a função definida por
Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para verificar as seguintes propriedades:
(a)
(b) ;
© ;
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Uma importante função presente na teoria física de difração das ondas de luz, que também é aplicada no planejamento de auto-estradas, é a função de Fresnel
. Calcule
.