Mostre que, para todo a neq 0, vale a expressão: integral d xa^2+x^2=1a arctg(xa)+C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, para qualquer número diferente de zero, a integral de em relação a é igual a . Vamos usar cálculo integral, especificamente a técnica de integração de funções racionais que se parecem com a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de integral dxa^2 + x^2 = 1a arctan(xa) + C tem uma forma padrão que envolve a função arco-tangente. A regra geral para integrar uma função da forma é:
Aqui, é a constante de integração.

Passo 3

Para entender por que essa fórmula funciona, podemos fazer uma substituição simples. Vamos definir uma nova variável u = xa tal que:
du = 1a dx Rightarrow dx = a , du
Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos integral dxa^2 + x^2 = integral a , dua^2 + a^2u^2 = integral a , dua^2(1 + u^2) = 1a integral du1 + u^2 por 1a arctan(u) + C = 1a arctan(xa) + C na integral original:
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, mostramos que:
integral dxa^2 + x^2 = 1a arctg(xa) + C

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