Mostre que, para todo , vale a expressão: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, para qualquer número diferente de zero, a integral de em relação a é igual a . Vamos usar cálculo integral, especificamente a técnica de integração de funções racionais que se parecem com a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de tem uma forma padrão que envolve a função arco-tangente. A regra geral para integrar uma função da forma é:
Aqui, é a constante de integração.

Passo 3

Para entender por que essa fórmula funciona, podemos fazer uma substituição simples. Vamos definir uma nova variável tal que:
Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos por na integral original:
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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A mecânica quântica prevê que a força entre duas moléculas de gás separadas por uma distância é dada por
onde e são constantes reais. A energia potencial das moléculas de gás satisfaz a equação diferencial (equação envolvendo derivadas) . Além disso, quando . Com base nessas informações, encontre uma fórmula para em função de .
Ache a primitiva de que satisfaz a condição .
A função logaritmo natural é a função definida por
Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para verificar as seguintes propriedades:
(a)
(b) ;
© ;
(d) .
Uma importante função presente na teoria física de difração das ondas de luz, que também é aplicada no planejamento de auto-estradas, é a função de Fresnel . Calcule .