Calcule as integrais a seguir interpretando cada uma em termos de áreas:
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas integrais e interpretar cada uma delas como áreas. Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de integrais definidas, e entender como elas representam áreas sob curvas. Então, vamos precisar saber como integrar funções e interpretar graficamente o que estamos fazendo.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a):
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando:
. Se você já se lembra, essa é a equação de uma semicircunferência com raio 1, centrada na origem no plano cartesiano. Ou seja, o gráfico dessa função de
a
forma metade de um círculo.
Como estamos integrando de 0 a 1, estamos calculando a área de um quarto desse círculo. Sabemos que a área total de um círculo é
. Com raio
, a área do círculo inteiro é
. Portanto, a área de um quarto do círculo é
.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b):
Aqui, temos uma função linear:
. Para encontrar a área entre essa linha e o eixo
de
a
, vamos integrar essa função.
Primeiro, encontramos a antiderivada de
:
Como estamos fazendo uma integral definida, o
(constante de integração) não importa. Agora, vamos avaliar essa antiderivada de 0 a 3:
Então, a área é
.
Resposta
(a)
(b)
Exercícios relacionados
Nos exercícios 6 a 10, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
10. e
10.
Nos exercícios 1 a 5, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
3. e
3.
Estime o valor dos seguintes números:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Ache a primitiva
de
que satisfaz a condição
.