Calcule as integrais a seguir interpretando cada uma em termos de áreas:
(a) integral0^1 raiz1-x^2 d x
(b) integral0^3(x-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas integrais e interpretar cada uma delas como áreas. Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de integrais definidas, e entender como elas representam áreas sob curvas. Então, vamos precisar saber como integrar funções e interpretar graficamente o que estamos fazendo.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a):
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . Se você já se lembra, essa é a equação de uma semicircunferência com raio 1, centrada na origem no plano cartesiano. Ou seja, o gráfico dessa função de a forma metade de um círculo.
Como estamos integrando de 0 a 1, estamos calculando a área de um quarto desse círculo. Sabemos que a área total de um círculo é . Com raio , a área do círculo inteiro é . Portanto, a área de um quarto do círculo é .

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): integral (x - 1) , dx = 12x^2 - x + C
Aqui, temos uma função linear: [ 12(3)^2 - 3 ] - [ 12(0)^2 - 0 ] = ( 92 - 3 ) - (0) = 92 - 3 = 92 - 62 = 32 . Para encontrar a área entre essa linha e o eixo de a , vamos integrar essa função.
Primeiro, encontramos a antiderivada de :
Como estamos fazendo uma integral definida, o (constante de integração) não importa. Agora, vamos avaliar essa antiderivada de 0 a 3:
Então, a área é .

Resposta

(a)
(b)

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