Ache o raio de convergência para as seguintes séries. sumn=1^infty x^2 n (2 n)!(n!)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o raio de convergência para a série . Isso faz parte do estudo de séries de potências, e para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , calculamos o limite . Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular .

Passo 3

Vamos montar a razão:
an+1an = x^2(n+1) (2(n+1))!((n+1)!)^2x^2n (2n)!(n!)^2
Simplificando, temos:
an+1an = x^2 cdot (2n + 2)(2n + 1)(2n)!(n + 1)^2 (n!)^2 cdot (n!)^2(2n)! = x^2 cdot (2n + 2)(2n + 1)(n + 1)^2
Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | x^2 cdot (2n + 2)(2n + 1)(n + 1)^2 | = x^2 cdot limn to infty 4n^2 + 6n + 2n^2 + 2n + 1 = x^2 cdot 4 = 4x^2 tende ao infinito:

Passo 4

Para a série convergir, precisamos que 4x^2 < 1 implies x^2 < 14 implies |x| < 12 . Então:

Resposta

O raio de convergência da série é .

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