Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo: sumn=1^infty 2^n x^n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir qual é o intervalo máximo onde a série de potências sumn=1^infty 2^n x^n^2 converge. Isso envolve entender sobre séries de potências e como determinar onde elas somam a um valor finito. Pra resolver, vamos precisar usar o Teste da Raiz, que ajuda a encontrar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Raiz. Esse teste nos diz que a série sum an converge se limsupn to infty |an|^1/n < 1. No nosso caso, an = 2^n x^n^2. Então, vamos calcular:
limsupn to infty |2^n x^n^2|^1/n = limsupn to infty 2 cdot |x|^n

Passo 3

Agora, observamos o limite que obtivemos: 2 cdot |x|^n. À medida que n cresce, se |x| < 1, então |x|^n tende a zero, e todo o limite vai a zero, que é menor que 1. Se |x| = 1, o limite será 2, que é maior que 1. Já se |x| > 1, |x|^n cresce sem limite, fazendo o limite ser infinito, também maior que 1.

Passo 4

Com base nisso, o Teste da Raiz nos diz que a série converge quando 2 cdot |x|^n < 1. Porém, para que isso aconteça, é necessário que |x| < 1, já que multiplicando qualquer número menor que 1 por 2 ainda teremos uma quantidade que tende a zero quando n vai pra infinito.

Resposta

Portanto, o intervalo máximo de convergência da série é |x| < 1, ou seja, o intervalo (-1, 1).

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