Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir qual é o intervalo máximo onde a série de potências
converge. Isso envolve entender sobre séries de potências e como determinar onde elas somam a um valor finito. Pra resolver, vamos precisar usar o Teste da Raiz, que ajuda a encontrar o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Raiz. Esse teste nos diz que a série
converge se
. No nosso caso,
. Então, vamos calcular:
Passo 3
Agora, observamos o limite que obtivemos:
. À medida que
cresce, se
, então
tende a zero, e todo o limite vai a zero, que é menor que 1. Se
, o limite será 2, que é maior que 1. Já se
,
cresce sem limite, fazendo o limite ser infinito, também maior que 1.
Passo 4
Com base nisso, o Teste da Raiz nos diz que a série converge quando
. Porém, para que isso aconteça, é necessário que
, já que multiplicando qualquer número menor que 1 por 2 ainda teremos uma quantidade que tende a zero quando
vai pra infinito.
Resposta
Portanto, o intervalo máximo de convergência da série é
, ou seja, o intervalo
.