Verifique por diferenciação que a fórmula está correta.
2.
2.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma fórmula de uma integral definida:
A tarefa é verificar, através da diferenciação, se essa fórmula está correta. Ou seja, vamos derivar o lado direito da equação e ver se retorna o integrando original, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função antiderivada deve nos dar de volta a função original que estamos integrando. Então, se derivarmos
, devemos obter
.
Passo 3
Vamos começar diferenciando cada termo da expressão
separadamente. Lembre-se que
é uma constante, e a derivada de uma constante é zero.
Primeiro, a derivada de
.
Passo 4
Para derivar
, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores multiplicados é igual à derivada do primeiro fator vezes o segundo, mais o primeiro fator vezes a derivada do segundo. Ou seja:
Sabemos que
e
. Então:
Passo 5
Agora, vamos diferenciar o próximo termo, que é
. A derivada de
é
.
E a derivada de
é zero:
Passo 6
Agora, somamos todas as derivadas dos termos:
Simplificando:
Resposta
Depois de derivar
, obtemos
, que é exatamente o integrando original. Portanto, a fórmula está correta.