Verifique por diferenciação que a fórmula está correta.
2. integral x cos x d x=x sen x+cos x+C

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma fórmula de uma integral definida:
integral x cos x , dx = x sin x + cos x + C
A tarefa é verificar, através da diferenciação, se essa fórmula está correta. Ou seja, vamos derivar o lado direito da equação e ver se retorna o integrando original, que é x cos x.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função antiderivada deve nos dar de volta a função original que estamos integrando. Então, se derivarmos x sin x + cos x + C, devemos obter x cos x.

Passo 3

Vamos começar diferenciando cada termo da expressão x sin x + cos x + C separadamente. Lembre-se que C é uma constante, e a derivada de uma constante é zero.
Primeiro, a derivada de x sin x.

Passo 4

Para derivar x sin x, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores multiplicados é igual à derivada do primeiro fator vezes o segundo, mais o primeiro fator vezes a derivada do segundo. Ou seja:
ddx(x sin x) = dxdx cdot sin x + x cdot ddx(sin x)
Sabemos que dxdx = 1 e ddx(sin x) = cos x. Então:
ddx(x sin x) = 1 cdot sin x + x cdot cos x = sin x + x cos x

Passo 5

Agora, vamos diferenciar o próximo termo, que é cos x. A derivada de cos x é - sin x.
ddx(cos x) = -sin x
E a derivada de C é zero:
ddx(C) = 0

Passo 6

Agora, somamos todas as derivadas dos termos:
ddx(x sin x + cos x + C) = (sin x + x cos x) + (-sin x) + 0
Simplificando:
sin x - sin x + x cos x = x cos x

Resposta

Depois de derivar x sin x + cos x + C, obtemos x cos x, que é exatamente o integrando original. Portanto, a fórmula está correta.

Exercícios relacionados