(b) Como, em uma integral tripla, mudar de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente aprender como mudar as coordenadas retangulares (ou cartesianas) para coordenadas esféricas em uma integral tripla. Isso faz parte do cálculo multivariado, onde a gente usa diferentes sistemas de coordenadas para facilitar a resolução de integrais complexas. Então, vamos precisar entender como as coordenadas esféricas são definidas e como transformar o diferencial de volume nesse novo sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como são as coordenadas retangulares. Elas são definidas por . Já as coordenadas esféricas são definidas por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem,
  • é o ângulo no plano xy a partir do eixo x,
  • é o ângulo a partir do eixo z.
Para mudar de coordenadas retangulares para esféricas, usamos as seguintes relações:

Passo 3

Agora, precisamos transformar o diferencial de volume das coordenadas retangulares para as esféricas. Em coordenadas cartesianas, temos , mas em esféricas, o diferencial de volume fica um pouco mais complicado devido à geometria da esfera.
O diferencial de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Esse fator extra vem do determinante da matriz jacobiana da transformação, que ajusta para a “distância” e os ângulos na nova coordenada.

Passo 4

Então, quando você tiver uma integral tripla em coordenadas retangulares, por exemplo:
Para mudar para coordenadas esféricas, você substitui as variáveis e o diferencial de volume, ficando:
Onde é a região em coordenadas esféricas correspondente à região original.

Resposta

Para mudar uma integral tripla de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas, utiliza-se as relações:
E o diferencial de volume se transforma em:
Assim, a integral tripla em coordenadas esféricas fica:

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