Ache o raio de convergência para as seguintes séries. sumn=1^infty x^n^2 (2 n)!(n!)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o raio de convergência da série . Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar até onde a série converge com base no comportamento dos termos quando cresce. Vamos precisar entender um pouquinho sobre fatoriais e aplicar a raiz quadrada adequada para encontrar esse raio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teste da Raiz. Esse teste diz que, para uma série , se calcularmos , então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não é conclusivo.
No nosso caso, o termo geral da série é . Vamos aplicar o teste da raiz a esse termo.

Passo 3

Vamos calcular raiz[n]|an| = raiz[n]|x^n^2| cdot raiz[n](2 n)!(n!)^2 :
= |x|^n cdot raiz[n](2 n)!(n!)^2
Simplificando:
Agora, precisamos entender o comportamento de quando tende ao infinito.

Passo 4

Para simplificar n! approx n^n e^-n raiz2 pi n , podemos usar a fórmula de Stirling, que aproxima fatoriais para valores grandes de (2n)! approx (2n)^2n e^-2n raiz4 pi n :
(n!)^2 approx (n^n e^-n raiz2 pi n)^2 = n^2n e^-2n 2 pi n
Aplicando isso aos fatoriais:
(2n)!(n!)^2 approx (2n)^2n e^-2n raiz4 pi nn^2n e^-2n 2 pi n = (2n)^2n raiz4 pi nn^2n 2 pi n
= 4^n n^2n raiz4 pi nn^2n 2 pi n = 4^n raiz4 pi n2 pi n = 4^n cdot 2 raizpi n2 pi n = 4^n raizpi npi n = 4^nraizpi n
Agora, vamos dividir as duas aproximações:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos:
raiz[n](2n)!(n!)^2 approx raiz[n]4^nraizpi n = 4(pi n)^1/(2n)
Quando limn to infty raiz[n](2n)!(n!)^2 = 4 tende ao infinito, tende a 1, então:

Passo 6

Voltando ao limite do Teste da Raiz:
limn to infty raiz[n]|an| = limn to infty |x|^n cdot 4 = 0 & se |x| < 1 infty & se |x| > 1
Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1. Vendo que tende a 0 quando e a infinito quando , concluímos que a série converge se e diverge se .

Resposta

O raio de convergência da série é .

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