Ache o raio de convergência para as seguintes séries.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o raio de convergência da série
. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar até onde a série converge com base no comportamento dos termos quando
cresce. Vamos precisar entender um pouquinho sobre fatoriais e aplicar a raiz quadrada adequada para encontrar esse raio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teste da Raiz. Esse teste diz que, para uma série
, se calcularmos
, então:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste não é conclusivo.
No nosso caso, o termo geral da série é
. Vamos aplicar o teste da raiz a esse termo.
Passo 3
Vamos calcular
:
Simplificando:
Agora, precisamos entender o comportamento de
quando
tende ao infinito.
Passo 4
Para simplificar
, podemos usar a fórmula de Stirling, que aproxima fatoriais para valores grandes de
:
Aplicando isso aos fatoriais:
Agora, vamos dividir as duas aproximações:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos:
Quando
tende ao infinito,
tende a 1, então:
Passo 6
Voltando ao limite do Teste da Raiz:
Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1. Vendo que
tende a 0 quando
e a infinito quando
, concluímos que a série converge se
e diverge se
.
Resposta
O raio de convergência da série é
.