Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo: sumn=1^infty 10^n(2 n)!(x-7)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o intervalo máximo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty 10^n(2n)!(x-7)^n
Isso significa que vamos descobrir para quais valores de essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o Critério da Razão, que ajuda a determinar o raio e o intervalo de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Critério da Razão. Ele diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , se:
  • Se , a série converge.
  • Se ou é infinito, a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Aplicando isso à nossa série, vamos considerar .

Passo 3

Agora, vamos calcular an+1an = 10^n+1(2(n+1))!(x-7)^n+1 times (2n)!10^n(x-7)^n = 10 (x-7)(2n+2)(2n+1) :
| an+1an | = | 10 (x-7)(2n+2)(2n+1) |
Simplificando, temos:

Passo 4

Vamos calcular o limite quando L = limn to infty | 10 (x-7)(2n+2)(2n+1) | = 0 tende ao infinito:
Porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, fazendo com que o limite seja zero.

Passo 5

Como , isso significa que a série converge para todos os valores de . Ou seja, não há restrição para , o que indica que o raio de convergência é infinito.

Resposta

O intervalo máximo de convergência da série é (todos os números reais).

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