Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o intervalo máximo de convergência da série de potências:
Isso significa que vamos descobrir para quais valores de essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o Critério da Razão, que ajuda a determinar o raio e o intervalo de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Critério da Razão. Ele diz que, para uma série , se:
Vamos calcular o limite quando L = limn to infty | 10 (x-7)(2n+2)(2n+1) | = 0 tende ao infinito:
Porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, fazendo com que o limite seja zero.
Passo 5
Como , isso significa que a série converge para todos os valores de . Ou seja, não há restrição para , o que indica que o raio de convergência é infinito.
Resposta
O intervalo máximo de convergência da série é (todos os números reais).