Determine o intervalo de convergência de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir em qual intervalo essa série infinita:
vai convergir, ou seja, onde ela “funciona” e dá um resultado finito. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta bem útil para séries do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Raiz. Ele diz que para a série
, a série converge se:
E diverge se esse limite for maior que 1. Se o limite for igual a 1, ele não nos dá resposta. Então, nosso objetivo é calcular esse limite.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral da série. No nosso caso:
Então, vamos calcular:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite conforme
tende ao infinito:
Para simplificar, dividimos numerador e denominador por
:
Passo 5
Aplicando o Teste da Raiz, queremos que esse limite seja menor que 1 para a série convergir:
Vamos resolver essa desigualdade para
:
Passo 6
Então, o raio de convergência
é
, e o intervalo de convergência é todos os valores de
que satisfazem
.
Resposta
O intervalo de convergência da série é
.