Determine o intervalo de convergência de: sumn=1^infty(3 n+25 n+7)^n x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir em qual intervalo essa série infinita:
sumn=1^infty(3n+25n+7)^n x^n
vai convergir, ou seja, onde ela “funciona” e dá um resultado finito. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta bem útil para séries do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Raiz. Ele diz que para a série limn to infty raiz[n]|an x^n| < 1 , a série converge se:
E diverge se esse limite for maior que 1. Se o limite for igual a 1, ele não nos dá resposta. Então, nosso objetivo é calcular esse limite.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da série. No nosso caso:
an = (3n+25n+7)^n
Então, vamos calcular:
raiz[n]|an x^n| = raiz[n](3n+25n+7)^n |x|^n = 3n+25n+7 cdot |x|

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite conforme limn to infty 3n+25n+7 cdot |x| tende ao infinito:
limn to infty 3 + 2n5 + 7n cdot |x| = 35 cdot |x|
Para simplificar, dividimos numerador e denominador por :

Passo 5

Aplicando o Teste da Raiz, queremos que esse limite seja menor que 1 para a série convergir:
35 cdot |x| < 1
Vamos resolver essa desigualdade para |x| < 53 :

Passo 6

Então, o raio de convergência é , e o intervalo de convergência é todos os valores de que satisfazem .

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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