Ache uma representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente encontrar uma série de potências que represente a integral de
de 0 até
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar a série de potências da função exponencial e saber como integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências do
. Sabemos que:
Isso significa que podemos escrever
como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 3
Agora, vamos integrar essa série de 0 até
. A gente pode fazer a integração termo a termo, o que é permitido porque a série converge para todas as
. Então temos:
Aqui, trocamos a ordem da soma e da integral.
Passo 4
Vamos calcular a integral de
de 0 até
:
Então, substituindo de volta na série:
Passo 5
Podemos simplificar essa expressão observando que
. Assim, a série fica:
Para deixar a série mais elegante, fazemos uma mudança de índice. Deixa eu te mostrar:
Passo 6
Vamos substituir
. Quando
,
. Então, nossa série fica:
Podemos renomear
de volta para
sem problema, ficando:
Passo 7
Agora, sobre o raio de convergência. Sabemos que a série de potências do
tem raio de convergência infinito, ou seja, converge para todo
. Como integramos termo a termo sem alterar o comportamento da série, o raio de convergência continua sendo infinito.
Resposta
A representação em série de potências da integral é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.
Exercícios relacionados
Considere a função
.
(a) Encontre a série de potências para a derivada e o raio de convergência.
(a) Encontre a série de potências para a derivada
Calculando-se
, obtém-se:
a) 0 .
b) 1 .
c) 2 .
d) 4 .
e) 6 .
a) 0 .
b) 1 .
c) 2 .
d) 4 .
e) 6 .
Se
o valor de
é:
(a) .
(b) 2 .
© -1 .
(d) .
(a)
(b) 2 .
© -1 .
(d)
Marque a opção que indica todas as assíntotas do gráfico de
:
(a) Assíntotas verticais: e
; assíntota horizontal:
.
(b) Assíntotas verticais: e
; assíntotas horizontais:
e
.
© Assíntotas verticais: e
; assíntota horizontal:
.
(d) Assíntotas verticais: ; assíntota horizontal:
e
.
(a) Assíntotas verticais:
(b) Assíntotas verticais:
© Assíntotas verticais:
(d) Assíntotas verticais: