Calculando-se lim x 2 x^3-x^2-2 xx^2-3 x+2, obtém-se:
a) 0 .
b) 1 .
c) 2 .
d) 4 .
e) 6 .

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 2 para a expressão . Isso é um exercício de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com funções racionais (que são frações com polinômios no numerador e denominador). Vamos precisar saber como fatorar polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de 2^3 - 2^2 - 2 times 22^2 - 3 times 2 + 2 = 8 - 4 - 44 - 6 + 2 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite facilmente. Substituindo:
A gente obteve , que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos simplesmente substituir o valor; precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Quando a substituição direta dá uma indeterminação como x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2) , a próxima etapa é fatorar tanto o numerador quanto o denominador para tentar simplificar a fração. Vamos começar pelo numerador x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) :
x(x - 2)(x + 1)
Agora, fatorando x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) :
Então, o numerador fatorado fica:
Agora, vamos fatorar o denominador :

Passo 4

Com os fatores prontos, podemos reescrever a expressão original:
x(x - 2)(x + 1)(x - 1)(x - 2)
Agora, percebemos que o fator x(x + 1)x - 1 aparece tanto no numerador quanto no denominador, então a gente pode cancelar esse termo (desde que , o que é válido para limites):

Passo 5

Agora que a expressão está simplificada, podemos substituir 2(2 + 1)2 - 1 = 2 times 31 = 6 sem problemas:

Resposta

A resposta correta é a letra e) 6.

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