Ache uma representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência:
integral0^x 1-cos tt^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a integral e determinar o seu raio de convergência. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e propriedades de integração de séries.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a função cos t = sumn=0^infty (-1)^n t^2n(2n)! como uma série de potências. Sabemos que a série de Taylor para 1 - cos t = 1 - sumn=0^infty (-1)^n t^2n(2n)! = sumn=1^infty (-1)^n+1 t^2n(2n)! em torno de 0 é:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa série na integral:
integral0^x 1 - cos tt^2 , dt = integral0^x 1t^2 ( sumn=1^infty (-1)^n+1 t^2n(2n)! ) dt
Podemos trocar a soma e a integral (desde que a série convirja uniformemente) para obter:
sumn=1^infty (-1)^n+1(2n)! integral0^x t^2n - 2 , dt

Passo 4

Vamos calcular a integral dentro da soma:
integral0^x t^2n - 2 , dt = [ t^2n-12n - 1 ]0^x = x^2n - 12n - 1

Passo 5

Substituindo o resultado da integral de volta na série, temos:
sumn=1^infty (-1)^n+1(2n)! cdot x^2n - 12n - 1 = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2n - 1(2n)! (2n - 1)

Passo 6

Para encontrar o raio de convergência dessa série, observamos que a série original de tem raio de convergência infinito, já que a série de converge para todos os . Como a integração não altera o raio de convergência, nossa série resultante também tem raio de convergência infinito.

Resposta

A representação em série de potências para a integral sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2n - 1(2n)! cdot (2n - 1) é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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