Ache uma representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a integral
e determinar o seu raio de convergência. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e propriedades de integração de séries.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a função
como uma série de potências. Sabemos que a série de Taylor para
em torno de 0 é:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa série na integral:
Podemos trocar a soma e a integral (desde que a série convirja uniformemente) para obter:
Passo 4
Vamos calcular a integral dentro da soma:
Passo 5
Substituindo o resultado da integral de volta na série, temos:
Passo 6
Para encontrar o raio de convergência dessa série, observamos que a série original de
tem raio de convergência infinito, já que a série de
converge para todos os
. Como a integração não altera o raio de convergência, nossa série resultante também tem raio de convergência infinito.
Resposta
A representação em série de potências para a integral
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.