Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y' = t * y^3 * (1 + t^2)^(-1/2), y(0) = 1

Passo 1

Aqui está o problema que vamos resolver:
Temos uma equação diferencial ordinária de valor inicial:
Vamos utilizar os conceitos de equações diferenciais separáveis e integração para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação é separável, ou seja, podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação. Reescrevemos a equação da seguinte forma:
Dividindo ambos os lados por e multiplicando por , temos:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar em função de .
A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:

Passo 4

Calculando a integral do lado esquerdo:

Passo 5

Calculando a integral do lado direito, fazemos uma substituição:
Seja , então , ou .
Substituindo na integral:

Passo 6

Igualando as integrais dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por -2:

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar a constante :
Substituindo e na equação:

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Resolvendo para :

Resposta

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