Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Aqui está o problema que vamos resolver:
Temos uma equação diferencial ordinária de valor inicial:
Vamos utilizar os conceitos de equações diferenciais separáveis e integração para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação é separável, ou seja, podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Reescrevemos a equação da seguinte forma:
Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
em função de
.
A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Passo 4
Calculando a integral do lado esquerdo:
Passo 5
Calculando a integral do lado direito, fazemos uma substituição:
Seja
, então
, ou
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Igualando as integrais dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por -2:
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Substituindo
e
na equação:
Passo 8
Substituindo
de volta na equação:
Resolvendo para
: