Ache uma representação em série de potências em torno de , dado abaixo, para as funções a seguir e determine o intervalo de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar uma representação em série de potências para a função , centrada em . Além disso, vamos determinar o intervalo em que essa série converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e expandir a função em torno do ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a expansão em série em torno de . Para isso, fazemos uma substituição simples:
Assim, podemos reescrever em termos de :
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma série de potências que podemos usar. Sabemos que:
Essa série converge para . Vamos adaptar isso para a nossa função .
Passo 4
Para usar a série acima, vamos fatorar o 2 dentro do logaritmo:
Agora, podemos expandir usando a série que conhecemos:
Passo 5
Vamos simplificar os termos da série:
Portanto, a representação em série de potências para é:
Substituindo :
Passo 6
Podemos generalizar a série usando a soma infinita. Observando o padrão dos coeficientes, temos:
Passo 7
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série converge para . No nosso caso:
Isso significa que a série converge para valores de que satisfazem:
Resposta
A representação em série de potências de em torno de é: