Seja f(x)=sumn=0^+infty(-1)^n(x-2)^n.
Escreva a série de potências que define a função f^prime.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por uma série de potências:
f(x) = sumn=0^+infty (-1)^n (x - 2)^n
O objetivo aqui é encontrar a série de potências que define a derivada dessa função, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivação termo a termo de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa derivar uma série de potências termo a termo. Se temos uma série assim:
f(x) = sumn=0^+infty an (x - c)^n
A derivada f^prime(x) = sumn=0^+infty an cdot n cdot (x - c)^n-1 é dada por:
Isso porque a derivada de em relação a x é .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função ddx [ (-1)^n (x - 2)^n ] = (-1)^n cdot n cdot (x - 2)^n-1 , temos que e . Então, vamos derivar cada termo da série:

Passo 4

Agora, colocamos tudo isso de volta na série para obter f^prime(x) = sumn=0^+infty (-1)^n cdot n cdot (x - 2)^n-1 :

Passo 5

Às vezes, é útil reescrever a série para deixar a expressão mais elegante ou para facilitar futuras manipulações. Podemos ajustar o índice da série para começar de f^prime(x) = sumn=1^+infty (-1)^n cdot n cdot (x - 2)^n-1 , já que quando , o termo é zero (porque ):

Resposta

A série de potências que define a função f^prime(x) = sumn=1^+infty (-1)^n cdot n cdot (x - 2)^n-1 é:

Exercícios relacionados