Seja
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Escreva a série de potências que define a função
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Escreva a série de potências que define a função
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por uma série de potências:
O objetivo aqui é encontrar a série de potências que define a derivada dessa função, ou seja,
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivação termo a termo de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa derivar uma série de potências termo a termo. Se temos uma série assim:
A derivada
é dada por:
Isso porque a derivada de
em relação a x é
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função
, temos que
e
. Então, vamos derivar cada termo da série:
Passo 4
Agora, colocamos tudo isso de volta na série para obter
:
Passo 5
Às vezes, é útil reescrever a série para deixar a expressão mais elegante ou para facilitar futuras manipulações. Podemos ajustar o índice da série para começar de
, já que quando
, o termo é zero (porque
):
Resposta
A série de potências que define a função
é: