Ache uma representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a integral
e descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a série geométrica e algumas propriedades de integrais e séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função que está dentro da integral,
. Podemos reescrever isso de uma forma que fique mais fácil de transformar em uma série de potências. Observe que:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da série geométrica. A série geométrica é dada por:
No nosso caso, temos
, que pode ser reescrita como
. Assim, identificamos
e aplicamos a série geométrica:
Passo 4
Substituindo de volta na nossa expressão original:
Agora, vamos integrar essa série de potências de 0 até
:
Passo 5
Calculando a integral de
:
Substituindo de volta na série:
Resposta
A representação em série de potências é:
O raio de convergência dessa série é
.