Ache uma representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência:
integral0^x 1t^2+4 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a integral e descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a série geométrica e algumas propriedades de integrais e séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que está dentro da integral, 1t^2+4 = 14(1 + t^24) = 14 cdot 11 + (t2)^2 . Podemos reescrever isso de uma forma que fique mais fácil de transformar em uma série de potências. Observe que:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da série geométrica. A série geométrica é dada por:
11 - u = sumn=0^infty u^n para |u| < 1
No nosso caso, temos 11 + (t2)^2 = sumn=0^infty (-t^24)^n = sumn=0^infty (-1)^n t^2n4^n , que pode ser reescrita como . Assim, identificamos e aplicamos a série geométrica:

Passo 4

Substituindo de volta na nossa expressão original:
1t^2+4 = 14 sumn=0^infty (-1)^n t^2n4^n = sumn=0^infty (-1)^n t^2n4^n+1
Agora, vamos integrar essa série de potências de 0 até integral0^x 1t^2+4 dt = integral0^x sumn=0^infty (-1)^n t^2n4^n+1 dt = sumn=0^infty (-1)^n 14^n+1 integral0^x t^2n dt :

Passo 5

Calculando a integral de integral0^x t^2n dt = x^2n+12n+1 :
integral0^x 1t^2+4 dt = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+14^n+1(2n+1)
Substituindo de volta na série:

Resposta

A representação em série de potências é:
integral0^x 1t^2+4 dt = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+14^n+1 (2n+1)
O raio de convergência dessa série é .

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