Assinale a alternativa CORRETA.
(a) AEDO y'' + (3 - y) y' + (e^y + 5) y = y e^x - y y' é uma EDO homogênea e linear.
(b) Se G(x, y) = 0 é uma solução implícita de uma EDO qualquer, então G(x, y) = c, c em R, também o é;
© Um fator integrante para resolver a EDO x y' + x y cotg(x) = x^2 é mu(x) = cos(x).
(d) A função y = phi(x) definida implicitamente por x^2 + 2y^2 + 1 = k e^(y^2), k in R, é solução da EDO y' = x / (x^2 y + 4 y^3)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Temos uma questão de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) onde precisamos identificar qual das alternativas apresentadas está correta. Para resolver, vamos analisar cada opção individualmente, verificando conceitos como homogeneidade, linearidade, fatores integrantes e soluções implícitas de EDOs.

Passo 2

Alternativa (a): Afirma que a EDO
é homogênea e linear.
  • EDO Linear: Uma EDO é linear se os termos de e suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, sem multiplicações entre si ou funções não lineares de .
  • EDO Homogênea: É uma EDO linear onde o termo independente (do lado direito da equação) é zero.
Na equação dada, observamos termos como e , que envolvem multiplicação e funções não lineares de . Isso significa que a equação não é linear. Como não é linear, não podemos classificá-la como homogênea.
Portanto, a alternativa (a) está incorreta.

Passo 3

Alternativa (b): Afirma que se é uma solução implícita de uma EDO qualquer, então , onde , também é solução.
Vamos entender isso:
  • Uma solução implícita de uma EDO é uma relação entre e que satisfaz a equação diferencial.
  • A afirmação sugere que qualquer constante levaria a uma solução válida.
No entanto, nem todo valor de necessariamente satisfaz a EDO original. Apenas o valor específico de que corresponde à solução particular será válido. Portanto, a afirmação é falsa.
Logo, a alternativa (b) está incorreta.

Passo 4

Alternativa ©: Afirma que um fator integrante para resolver a EDO
é .
Vamos verificar:
Primeiro, colocamos a EDO na forma padrão linear:
Dividindo a equação por :
Aqui, e .
O fator integrante é dado por:
Portanto, o fator integrante correto é , não como afirma a alternativa.
Assim, a alternativa © está incorreta.

Passo 5

Alternativa (d): Afirma que a função definida implicitamente por
é solução da EDO
Vamos verificar se essa função implícita satisfaz a EDO.
Diferenciando ambos os lados da equação implícita em relação a :
Isolando :
Comparando com a EDO fornecida:
Para que as duas expressões de sejam iguais, precisaríamos que:
Isso só é possível se , o que não é verdade de forma geral para qualquer .
Portanto, a função dada não satisfaz a EDO proposta.
Dessa forma, a alternativa (d) está incorreta.

Resposta

Nenhuma das alternativas está correta.

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