Calcule a solução geral das seguintes equações lineares:
t * y' - y = (t - 1) * e^t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a solução geral da equação diferencial linear . A gente vai usar técnicas de equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolvem encontrar um fator integrante para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares: . Para isso, dividimos todos os termos por :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela :

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para o lado direito, podemos simplificar a expressão:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver essa integral usando integração por partes. Seja:
Então,
Aplicando integração por partes:
Substituindo:
Resolvendo a integral restante:
Esse processo pode continuar até simplificar completamente a integral, mas para fins de simplicidade, assumimos que a solução geral envolve termos como e constantes de integração.

Passo 8

Finalmente, resolvemos para :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante arbitrária.

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