Ache uma representação em série de potências em torno de a, dado abaixo, para as funções a seguir e determine o intervalo de convergência:
f(x) = raiz(x), a = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função em torno de . Isso faz parte do estudo de séries de Taylor e séries de potências na matemática. Para isso, vamos usar algumas fórmulas de expansão e também determinar o intervalo em que essa série converge, ou seja, onde a representação funciona direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a expansão em série ao redor de . Para isso, podemos expressar como . Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o 4 de dentro da raiz para simplificar:

Passo 4

Aí, vamos usar a fórmula da série binomial para expandir , onde . A série binomial para com é:
Substituindo por , a série fica:
Multiplicando tudo por 2, que foi o fator que tiramos anteriormente:

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para que a série binomial converja, precisamos que:
Resolvendo a desigualdade:
Isso significa que deve estar entre 0 e 8:

Resposta

A representação em série de potências para em torno de é:
E o intervalo de convergência dessa série é:

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