Ache uma representação em série de potências em torno de , dado abaixo, para as funções a seguir e determine o intervalo de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função em torno de . Isso faz parte do estudo de séries de Taylor e séries de potências na matemática. Para isso, vamos usar algumas fórmulas de expansão e também determinar o intervalo em que essa série converge, ou seja, onde a representação funciona direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a expansão em série ao redor de . Para isso, podemos expressar como . Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o 4 de dentro da raiz para simplificar:
Passo 4
Aí, vamos usar a fórmula da série binomial para expandir , onde . A série binomial para com é:
Substituindo por , a série fica:
Multiplicando tudo por 2, que foi o fator que tiramos anteriormente:
Passo 5
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para que a série binomial converja, precisamos que:
Resolvendo a desigualdade:
Isso significa que deve estar entre 0 e 8:
Resposta
A representação em série de potências para em torno de é: