Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.
b) x=4t^2-4t, y=1-4t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as retas tangentes, tanto horizontais quanto verticais, ao gráfico definido pelas equações paramétricas:
Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a inclinação da reta tangente em cada ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e em relação ao parâmetro . Isso vai nos ajudar a calcular , que é a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Agora, vamos calcular usando a regra da cadeia:

Passo 4

Retas Tangentes Horizontais
Para encontrar as retas tangentes horizontais, precisamos que a inclinação . Isso ocorre quando .
Agora, vamos encontrar as coordenadas nesse valor de :
Logo, a reta tangente horizontal é .

Passo 5

Retas Tangentes Verticais
Para encontrar as retas tangentes verticais, precisamos que e .
Vamos verificar nesse valor:
Então, vamos encontrar as coordenadas quando :
Portanto, a reta tangente vertical é .

Resposta

As retas tangentes ao gráfico são:
  • Reta tangente horizontal:
  • Reta tangente vertical:

Exercícios relacionados

Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.
x = 3a t / (1 + t^3), y = 3a t^2 / (1 + t^3)
Ache uma equação da reta tangente à curva:
x = 2 sen, y = 5 cos(t), t = pi/3
Ache o limite indicado, se ele existir.
a) R(t)=(3 t-2) i+t^2 j, lim t 2 R(t)
Ache o limite indicado, se ele existir.
b) R(t)=(t-2) i+t^2-4t-2 j, lim t 2 R(t)