Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as retas tangentes, tanto horizontais quanto verticais, ao gráfico definido pelas equações paramétricas:
Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a inclinação da reta tangente em cada ponto da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação ao parâmetro
. Isso vai nos ajudar a calcular
, que é a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Agora, vamos calcular
usando a regra da cadeia:
Passo 4
Retas Tangentes Horizontais
Para encontrar as retas tangentes horizontais, precisamos que a inclinação
. Isso ocorre quando
.
Agora, vamos encontrar as coordenadas
nesse valor de
:
Logo, a reta tangente horizontal é
.
Passo 5
Retas Tangentes Verticais
Para encontrar as retas tangentes verticais, precisamos que
e
.
Vamos verificar
nesse valor:
Então, vamos encontrar as coordenadas
quando
:
Portanto, a reta tangente vertical é
.
Resposta
As retas tangentes ao gráfico são:
- Reta tangente horizontal:
- Reta tangente vertical:
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Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.
Ache uma equação da reta tangente à curva:
Ache o limite indicado, se ele existir.
a)
a)
Ache o limite indicado, se ele existir.
b)
b)