Ache a série de Fourier de f no intervalo dado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar a série de Fourier da função no intervalo dado. A função está definida por partes:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a série de Fourier e como aplicá-la a funções definidas por partes. A série de Fourier expressa uma função periódica como uma soma de funções senoidais e cossenoidais. Vamos seguir os passos para encontrar essa série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Observando a definição, está definida de a , então o período é unidades. A frequência angular fundamental é:
Passo 3
A série de Fourier geral para uma função par periódica é:
Como nossa função não é necessariamente par ou ímpar, vamos calcular tanto os coeficientes quanto .
Passo 4
O coeficiente constante é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes , que são dados por:
Dividindo a integral nas partes onde é definida:
Isso simplifica para:
Essas integrais podem ser resolvidas usando por partes e integrais básicas de funções trigonométricas.
Passo 6
Vamos calcular a primeira integral, , usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Calculando os limites:
Passo 7
Agora, vamos calcular a segunda integral, :
Sabendo que , temos:
Passo 8
Agora, juntando as duas partes para :
Passo 9
Agora, vamos calcular os coeficientes , que são dados por:
Dividindo a integral nas partes onde é definida:
Isso simplifica para:
Essas integrais também podem ser resolvidas usando por partes e integrais básicas de funções trigonométricas.
Passo 10
Calculando a primeira integral de :
Usando integração por partes, similar ao passo 6:
Aplicando a fórmula:
Passo 11
Calculando a segunda integral de :
Passo 12
Juntando as partes para :
Passo 13
Agora que temos , e , podemos escrever a série de Fourier completa da função :