Determine o volume do sólido limitado pelos cilindros
e pelos planos
. (2,0 pontos)
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para determinar o volume de um sólido limitado pelos cilindros
,
e pelos planos
e
. Para isso, vamos utilizar o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, para calcular o volume desse sólido.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as regiões de integração. O sólido está limitado pelas seguintes superfícies:
- De baixo por
e de cima por . - Na direção
, está limitado por e .
Isso significa que para cada ponto
na região de integração,
varia de 0 a
.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para
e
. A curva
e a linha
se intersectam quando:
Então,
varia de -2 a 2.
Passo 4
Para cada valor de
entre -2 e 2,
varia de
até
. Portanto, os limites de
são de
a 4.
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla para encontrar o volume
:
Resolvendo a integral em
primeiro:
Passo 6
Substituímos o resultado na integral dupla:
Integrando em
:
Passo 7
Agora, a integral para
fica:
Passo 8
Para resolver essa integral, observamos que a função é par, então podemos calcular de 0 a 2 e multiplicar por 2:
Integrando termo a termo:
Passo 9
Subtraindo os resultados:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(k)
(k)
Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
m)
m)
Calcule o seguinte limite lateral direito da velocidade média entre os instantes
e 5
Ache a série de Fourier de f no intervalo dado.
g)
g)