Determine o volume do sólido limitado pelos cilindros e pelos planos . (2,0 pontos)

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para determinar o volume de um sólido limitado pelos cilindros , e pelos planos e . Para isso, vamos utilizar o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, para calcular o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as regiões de integração. O sólido está limitado pelas seguintes superfícies:
  • De baixo por e de cima por .
  • Na direção , está limitado por e .
Isso significa que para cada ponto na região de integração, varia de 0 a .

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para e . A curva e a linha se intersectam quando:
Então, varia de -2 a 2.

Passo 4

Para cada valor de entre -2 e 2, varia de até . Portanto, os limites de são de a 4.

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla para encontrar o volume :
Resolvendo a integral em primeiro:

Passo 6

Substituímos o resultado na integral dupla:
Integrando em :

Passo 7

Agora, a integral para fica:

Passo 8

Para resolver essa integral, observamos que a função é par, então podemos calcular de 0 a 2 e multiplicar por 2:
Integrando termo a termo:

Passo 9

Subtraindo os resultados:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(k)
Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
m)
Calcule o seguinte limite lateral direito da velocidade média entre os instantes e 5
Ache a série de Fourier de f no intervalo dado.
g)