Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
o) f(x) = e^x, -pi < x < pi

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A questão quer que a gente encontre a Série de Fourier da função no intervalo de a . Série de Fourier é uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as fórmulas para os coeficientes de Fourier e entender como aplicá-las.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que uma função periódica com período pode ser representada pela Série de Fourier:
Aqui, , e são os coeficientes de Fourier que vamos calcular.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Então, substituindo :

Passo 4

Vamos resolver a integral para :
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Substituindo :

Passo 6

Para resolver essa integral, usamos a fórmula de integração por partes ou reconhecemos que precisamos integrar . O resultado dessa integral é:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Substituindo :

Passo 8

Da mesma forma que com , resolvemos a integral de . O resultado dessa integral é:
Simplificando:

Passo 9

Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a Série de Fourier completa para :

Resposta

A Série de Fourier de no intervalo é:

Exercícios relacionados

Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
n) f(x) = { 2 + x, -2 < x < 0 ; 2, 0 <= x < 2 }
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
l) f(x) = { 0, -2 < x < 0; x, 0 <= x < 1; 1, 1 <= x < 2 }
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
p) f(x) = { 0, -pi < x < 0; e^x - 1, 0 <= x < pi }
Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
e) f(x) = e^( |x| )