Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A questão quer que a gente encontre a Série de Fourier da função no intervalo de a . Série de Fourier é uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as fórmulas para os coeficientes de Fourier e entender como aplicá-las.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que uma função periódica com período pode ser representada pela Série de Fourier:
Aqui, , e são os coeficientes de Fourier que vamos calcular.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Então, substituindo :
Passo 4
Vamos resolver a integral para :
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Substituindo :
Passo 6
Para resolver essa integral, usamos a fórmula de integração por partes ou reconhecemos que precisamos integrar . O resultado dessa integral é:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Substituindo :
Passo 8
Da mesma forma que com , resolvemos a integral de . O resultado dessa integral é:
Simplificando:
Passo 9
Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a Série de Fourier completa para :