Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
p) f(x) = { 0, -pi < x < 0; e^x - 1, 0 <= x < pi }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a Série de Fourier de uma função definida no intervalo . A função é igual a 0 quando e igual a quando . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Série de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Precisaremos calcular os coeficientes da série ( , e ) usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Série de Fourier para uma função com período é dada por:
Onde:
Vamos precisar calcular esses três tipos de coeficientes.

Passo 3

Vamos começar calculando :
Como é 0 de a 0, a integral só precisa ser calculada de 0 a :
Integrando:
Avaliando de 0 a :

Passo 4

Agora vamos calcular :
Novamente, como é 0 de a 0:
Vamos dividir a integral:
A primeira integral envolve uma função exponencial multiplicada por cosseno, que pode ser resolvida por partes ou usando fórmulas de integração de produtos de exponenciais e trigonométricas. A segunda integral é mais simples:
Então, temos:
Utilizando a fórmula de integração:
Avaliando de 0 a :
Simplificando:
Então:

Passo 5

Agora vamos calcular :
Como antes, apenas de 0 a :
Dividindo a integral:
A segunda integral é:
A primeira integral, similar à de , usamos a fórmula:
Avaliando de 0 a :
Simplificando:
Então:
Portanto:
Simplificando:

Resposta

A Série de Fourier da função no intervalo é dada por:

Exercícios relacionados

Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
o) f(x) = e^x, -pi < x < pi
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
n) f(x) = { 2 + x, -2 < x < 0 ; 2, 0 <= x < 2 }
Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
e) f(x) = e^( |x| )
Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
j) f(x) = 2|x| - 1