Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
p)
p)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a Série de Fourier de uma função definida no intervalo
. A função
é igual a 0 quando
e igual a
quando
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Série de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Precisaremos calcular os coeficientes da série (
,
e
) usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Série de Fourier para uma função com período
é dada por:
Onde:
Vamos precisar calcular esses três tipos de coeficientes.
Passo 3
Vamos começar calculando
:
Como
é 0 de
a 0, a integral só precisa ser calculada de 0 a
:
Integrando:
Avaliando de 0 a
:
Passo 4
Agora vamos calcular
:
Novamente, como
é 0 de
a 0:
Vamos dividir a integral:
A primeira integral envolve uma função exponencial multiplicada por cosseno, que pode ser resolvida por partes ou usando fórmulas de integração de produtos de exponenciais e trigonométricas. A segunda integral é mais simples:
Então, temos:
Utilizando a fórmula de integração:
Avaliando de 0 a
:
Simplificando:
Então:
Passo 5
Agora vamos calcular
:
Como antes, apenas de 0 a
:
Dividindo a integral:
A segunda integral é:
A primeira integral, similar à de
, usamos a fórmula:
Avaliando de 0 a
:
Simplificando:
Então:
Portanto:
Simplificando:
Resposta
A Série de Fourier da função
no intervalo
é dada por:
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Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
o)
o)
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
n)
n)
Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
e)
e)
Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
j)
j)