Beleza, vamos resolver esse exercício de Série de Fourier! A questão pede para encontrar a Série de Fourier da função no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de séries trigonométricas, que nos ajudam a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Precisaremos calcular os coeficientes da série, que envolvem integrais da função original multiplicadas por senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o período da função. Como a função está definida de a , o período é , pois .
Passo 3
O próximo passo é calcular o coeficiente , que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula é:
Aqui, , então os limites da integral são de a .
Passo 4
Vamos calcular :
Resolvendo as integrais:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes e para . As fórmulas são:
Onde .
Passo 6
Vamos calcular :
Essas integrais podem ser resolvidas por partes e usando identidades trigonométricas, resultando em expressões que dependem de .
Passo 7
De maneira similar, calculamos :
Estas integrais também são resolvidas por técnicas de integração apropriadas.
Passo 8
Após calcular , e , a Série de Fourier da função será:
Substituindo os valores encontrados para os coeficientes, teremos a representação completa da série.
Resposta
A Série de Fourier da função no intervalo é dada por:
Onde os coeficientes e são calculados conforme os passos anteriores.