Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
l) f(x) = { 0, -2 < x < 0; x, 0 <= x < 1; 1, 1 <= x < 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Série de Fourier! A questão pede para encontrar a Série de Fourier da função no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de séries trigonométricas, que nos ajudam a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Precisaremos calcular os coeficientes da série, que envolvem integrais da função original multiplicadas por senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o período da função. Como a função está definida de a , o período é , pois .

Passo 3

O próximo passo é calcular o coeficiente , que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula é:
Aqui, , então os limites da integral são de a .

Passo 4

Vamos calcular :
Resolvendo as integrais:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes e para . As fórmulas são:
Onde .

Passo 6

Vamos calcular :
Essas integrais podem ser resolvidas por partes e usando identidades trigonométricas, resultando em expressões que dependem de .

Passo 7

De maneira similar, calculamos :
Estas integrais também são resolvidas por técnicas de integração apropriadas.

Passo 8

Após calcular , e , a Série de Fourier da função será:
Substituindo os valores encontrados para os coeficientes, teremos a representação completa da série.

Resposta

A Série de Fourier da função no intervalo é dada por:
Onde os coeficientes e são calculados conforme os passos anteriores.

Exercícios relacionados

Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
k) f(x) = { 0, -2 < x < -1; -2, -1 <= x < 0; 1, 0 <= x < 1; 0, 1 <= x < 2 }
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
i) f(x) = { 0, -pi <= x < 0 ; sen x, 0 <= x <= pi }
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
n) f(x) = { 2 + x, -2 < x < 0 ; 2, 0 <= x < 2 }
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
o) f(x) = e^x, -pi < x < pi