Beleza, vamos resolver esse exercício de Série de Fourier! A gente tem uma função definida por pedaços no intervalo . Nosso objetivo é encontrar a Série de Fourier dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas da Série de Fourier para funções periódicas, calcular os coeficientes , e , e entender como a função se comporta no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Observando que a função está definida de a , o período é . A frequência fundamental é dada por:
Passo 3
Agora, vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no período. A fórmula para é:
Vamos dividir a integral conforme a definição da função:
Calculando cada parte:
Passo 4
Vamos calcular os coeficientes , que são os coeficientes das funções cosseno na série. A fórmula é:
Novamente, vamos dividir a integral conforme a função:
Isso simplifica para:
Resolvendo as integrais:
Simplificando:
Sabendo que e , temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes , que são os coeficientes das funções seno na série. A fórmula é:
Repetindo o processo:
Simplificando:
Resolvendo as integrais:
Simplificando:
Sabendo que e :
Distribuindo:
Simplificando os termos:
Porém, observando a simetria da função, percebemos que os coeficientes se anulam, pois a função é par em relação ao eixo . Portanto, todos os .
Passo 6
Agora que temos todos os coeficientes, vamos montar a Série de Fourier. A fórmula geral é: