Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
k) f(x) = { 0, -2 < x < -1; -2, -1 <= x < 0; 1, 0 <= x < 1; 0, 1 <= x < 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Série de Fourier! A gente tem uma função definida por pedaços no intervalo . Nosso objetivo é encontrar a Série de Fourier dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas da Série de Fourier para funções periódicas, calcular os coeficientes , e , e entender como a função se comporta no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Observando que a função está definida de a , o período é . A frequência fundamental é dada por:

Passo 3

Agora, vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no período. A fórmula para é:
Vamos dividir a integral conforme a definição da função:
Calculando cada parte:

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes , que são os coeficientes das funções cosseno na série. A fórmula é:
Novamente, vamos dividir a integral conforme a função:
Isso simplifica para:
Resolvendo as integrais:
Simplificando:
Sabendo que e , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes , que são os coeficientes das funções seno na série. A fórmula é:
Repetindo o processo:
Simplificando:
Resolvendo as integrais:
Simplificando:
Sabendo que e :
Distribuindo:
Simplificando os termos:
Porém, observando a simetria da função, percebemos que os coeficientes se anulam, pois a função é par em relação ao eixo . Portanto, todos os .

Passo 6

Agora que temos todos os coeficientes, vamos montar a Série de Fourier. A fórmula geral é:
Como os , fica:
Substituindo e :

Resposta

A Série de Fourier da função no intervalo é:

Exercícios relacionados

Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
i) f(x) = { 0, -pi <= x < 0 ; sen x, 0 <= x <= pi }
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
g) f(x) = x + pi, -pi < x < pi
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
l) f(x) = { 0, -2 < x < 0; x, 0 <= x < 1; 1, 1 <= x < 2 }
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
n) f(x) = { 2 + x, -2 < x < 0 ; 2, 0 <= x < 2 }