Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
i)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a Série de Fourier da função
no intervalo
a
. A Série de Fourier é uma forma de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série e montar a expressão final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a função
é par ou ímpar, pois isso nos ajudará a simplificar os cálculos dos coeficientes. Nesse caso,
é uma função ímpar porque
.
Passo 3
Como a função é ímpar, na Série de Fourier teremos apenas termos de senos (a parte ímpar da série). A fórmula geral para os coeficientes de senos
é:
Como
é ímpar e
também é ímpar, podemos simplificar a integral de
a
para duas vezes a integral de
a
:
Passo 4
Agora, substituímos
na integral:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 5
Agora, integramos cada termo:
Aplicando aos limites de
a
:
Isso acontece porque
para todo inteiro
.
Passo 6
Voltando a
:
Isso indica que todos os coeficientes de senos são zero, o que sugere que a função original pode não ser representada por uma série de senos. No entanto, isso ocorre porque a função
está descontinuada em
.
Passo 7
Vamos reconsiderar e calcular diretamente a série de Fourier para a função dada. Sabemos que para funções definidas em
a
, a série de Fourier é:
Como
é ímpar,
para todos os
, e
. Portanto, a série reduz para:
E já vimos que
, o que confirma que a série de Fourier para essa função é composta apenas por termos de senos.
Resposta
A Série de Fourier da função
no intervalo
a
é:
Isso indica que a série de Fourier para essa função específica é trivialmente zero devido à sua definição e propriedades de simetria.