Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
i) f(x) = { 0, -pi <= x < 0 ; sen x, 0 <= x <= pi }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a Série de Fourier da função no intervalo a . A Série de Fourier é uma forma de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série e montar a expressão final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função é par ou ímpar, pois isso nos ajudará a simplificar os cálculos dos coeficientes. Nesse caso, é uma função ímpar porque .

Passo 3

Como a função é ímpar, na Série de Fourier teremos apenas termos de senos (a parte ímpar da série). A fórmula geral para os coeficientes de senos é:
Como é ímpar e também é ímpar, podemos simplificar a integral de a para duas vezes a integral de a :

Passo 4

Agora, substituímos na integral:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos cada termo:
Aplicando aos limites de a :
Isso acontece porque para todo inteiro .

Passo 6

Voltando a :
Isso indica que todos os coeficientes de senos são zero, o que sugere que a função original pode não ser representada por uma série de senos. No entanto, isso ocorre porque a função está descontinuada em .

Passo 7

Vamos reconsiderar e calcular diretamente a série de Fourier para a função dada. Sabemos que para funções definidas em a , a série de Fourier é:
Como é ímpar, para todos os , e . Portanto, a série reduz para:
E já vimos que , o que confirma que a série de Fourier para essa função é composta apenas por termos de senos.

Resposta

A Série de Fourier da função no intervalo a é:
Isso indica que a série de Fourier para essa função específica é trivialmente zero devido à sua definição e propriedades de simetria.

Exercícios relacionados

Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
g) f(x) = x + pi, -pi < x < pi
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
f) f(x) = { pi^2, -pi < x < 0; pi^2 - x^2, 0 <= x < pi }
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
k) f(x) = { 0, -2 < x < -1; -2, -1 <= x < 0; 1, 0 <= x < 1; 0, 1 <= x < 2 }
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
l) f(x) = { 0, -2 < x < 0; x, 0 <= x < 1; 1, 1 <= x < 2 }