Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a Série de Fourier da função no intervalo a . A Série de Fourier é uma forma de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série e montar a expressão final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a função é par ou ímpar, pois isso nos ajudará a simplificar os cálculos dos coeficientes. Nesse caso, é uma função ímpar porque .
Passo 3
Como a função é ímpar, na Série de Fourier teremos apenas termos de senos (a parte ímpar da série). A fórmula geral para os coeficientes de senos é:
Como é ímpar e também é ímpar, podemos simplificar a integral de a para duas vezes a integral de a :
Passo 4
Agora, substituímos na integral:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 5
Agora, integramos cada termo:
Aplicando aos limites de a :
Isso acontece porque para todo inteiro .
Passo 6
Voltando a :
Isso indica que todos os coeficientes de senos são zero, o que sugere que a função original pode não ser representada por uma série de senos. No entanto, isso ocorre porque a função está descontinuada em .
Passo 7
Vamos reconsiderar e calcular diretamente a série de Fourier para a função dada. Sabemos que para funções definidas em a , a série de Fourier é:
Como é ímpar, para todos os , e . Portanto, a série reduz para:
E já vimos que , o que confirma que a série de Fourier para essa função é composta apenas por termos de senos.
Resposta
A Série de Fourier da função no intervalo a é:
Isso indica que a série de Fourier para essa função específica é trivialmente zero devido à sua definição e propriedades de simetria.