Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
g) f(x) = x + pi, -pi < x < pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Série de Fourier! A gente precisa achar a Série de Fourier da função no intervalo . Vamos usar os conceitos de coeficientes de Fourier , e para montar essa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma Série de Fourier para uma função periódica no intervalo a tem a forma:
Para encontrar os coeficientes , e , vamos precisar calcular as integrais correspondentes.

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente , que representa a média de no intervalo. A fórmula para é:
Substituindo :

Passo 4

Vamos calcular essa integral:
Sabemos que porque a função é ímpar e o intervalo é sim��trico. Já .
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :
Vamos separar essa integral:

Passo 6

Observamos que é uma função ímpar vezes uma função par, o que resulta em uma função ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero:
Para a segunda parte:
Isso porque é uma função par e sua integral completa em a para também resulta em zero.
Portanto, para todo .

Passo 7

Vamos agora calcular os coeficientes :
Substituindo :
Novamente, separamos a integral:

Passo 8

A função é ímpar vezes ímpar, resultando em uma função par. Então, a integral não é zero. Já a função é ímpar, então sua integral em a é zero.
Focando na primeira parte:
Vamos calcular essa integral por partes:
Avaliando de a :
Portanto:

Passo 9

Agora, juntando tudo, a Série de Fourier de é:
Simplificando:

Resposta

A Série de Fourier da função no intervalo é:

Exercícios relacionados

Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
f) f(x) = { pi^2, -pi < x < 0; pi^2 - x^2, 0 <= x < pi }
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
c) f(x) = { 1, -1 < x < 0; x, 0 <= x < 1 }
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
i) f(x) = { 0, -pi <= x < 0 ; sen x, 0 <= x <= pi }
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
k) f(x) = { 0, -2 < x < -1; -2, -1 <= x < 0; 1, 0 <= x < 1; 0, 1 <= x < 2 }