Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Série de Fourier! A gente precisa achar a Série de Fourier da função
no intervalo
. Vamos usar os conceitos de coeficientes de Fourier
,
e
para montar essa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma Série de Fourier para uma função periódica no intervalo
a
tem a forma:
Para encontrar os coeficientes
,
e
, vamos precisar calcular as integrais correspondentes.
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente
, que representa a média de
no intervalo. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos calcular essa integral:
Sabemos que
porque a função
é ímpar e o intervalo é sim��trico. Já
.
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo
:
Vamos separar essa integral:
Passo 6
Observamos que
é uma função ímpar vezes uma função par, o que resulta em uma função ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero:
Para a segunda parte:
Isso porque
é uma função par e sua integral completa em
a
para
também resulta em zero.
Portanto,
para todo
.
Passo 7
Vamos agora calcular os coeficientes
:
Substituindo
:
Novamente, separamos a integral:
Passo 8
A função
é ímpar vezes ímpar, resultando em uma função par. Então, a integral não é zero. Já a função
é ímpar, então sua integral em
a
é zero.
Focando na primeira parte:
Vamos calcular essa integral por partes:
Avaliando de
a
:
Portanto:
Passo 9
Agora, juntando tudo, a Série de Fourier de
é:
Simplificando:
Resposta
A Série de Fourier da função
no intervalo
é:
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f)
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c)
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Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
i)
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k)
k)