Ache a solução geral para cada EDO homogênea:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) homogênea dada por:
Aqui, estamos lidando com uma EDO homogênea, o que significa que podemos usar a substituição
para simplificar a equação. Vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais homogêneas e como aplicar substituições para resolvê-las.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição
. Isso implica que
. Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
para encontrar
:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na EDO original:
Substituindo
e
:
Simplificando os termos:
Passo 4
Vamos distribuir os termos:
Simplificando:
Vamos combinar os termos que têm
:
Passo 5
Simplificando dentro dos colchetes:
Isso reduz para:
Agora, podemos dividir todos os termos por
para simplificar:
Passo 6
Vamos reescrever a equação:
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 7
Integrando o lado direito:
Agora, precisamos integrar o lado esquerdo. Mas, percebemos que há uma dependência de
aqui, o que sugere que talvez precisemos reorganizar a equação de outra forma ou verificar um passo anterior. Vamos revisar.
Na verdade, percebemos que houve um erro na simplificação anterior. Corrigindo:
Depois de dividir por
, a equação correta é:
Essa forma sugere que podemos rearranjar para separar as variáveis:
Agora, podemos integrar ambos os lados.
Passo 8
Vamos integrar cada lado:
Para o lado esquerdo, tratamos
como constante em relação a
:
Para o lado direito:
Passo 9
Agora, igualamos as integrais:
Lembrando que
, vamos substituir de volta:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
considere
B) determine as derivadas parciais de ordem 2 de
B) determine as derivadas parciais de ordem 2 de
A) Use o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos de:
Escreva de 5 à 10 linhas sobre o que você aprendeu de Séries de Fourier.
Resolva os seguintes itens abaixo.
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em da função
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em
no plano cartesiano.