Ache a solução geral para cada EDO homogênea:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) homogênea dada por:
Aqui, estamos lidando com uma EDO homogênea, o que significa que podemos usar a substituição para simplificar a equação. Vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais homogêneas e como aplicar substituições para resolvê-las.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição . Isso implica que . Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a para encontrar :

Passo 3

Agora, substituímos e na EDO original:
Substituindo e :
Simplificando os termos:

Passo 4

Vamos distribuir os termos:
Simplificando:
Vamos combinar os termos que têm :

Passo 5

Simplificando dentro dos colchetes:
Isso reduz para:
Agora, podemos dividir todos os termos por para simplificar:

Passo 6

Vamos reescrever a equação:
Agora, integramos ambos os lados:

Passo 7

Integrando o lado direito:
Agora, precisamos integrar o lado esquerdo. Mas, percebemos que há uma dependência de aqui, o que sugere que talvez precisemos reorganizar a equação de outra forma ou verificar um passo anterior. Vamos revisar.
Na verdade, percebemos que houve um erro na simplificação anterior. Corrigindo:
Depois de dividir por , a equação correta é:
Essa forma sugere que podemos rearranjar para separar as variáveis:
Agora, podemos integrar ambos os lados.

Passo 8

Vamos integrar cada lado:
Para o lado esquerdo, tratamos como constante em relação a :
Para o lado direito:

Passo 9

Agora, igualamos as integrais:
Lembrando que , vamos substituir de volta:

Passo 10

Simplificando a expressão:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é a constante de integração.

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