Resolva os seguintes itens abaixo.
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em da função
no plano cartesiano.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente em dois intervalos dentro de . A tarefa é desenhar o gráfico dessa função quando estendida periodicamente para toda a reta real . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções periódicas e como elas se comportam no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função no intervalo inicial . A função está definida assim:
Isso significa que de até , a função é constante e igual a 0. De até , a função é constante e igual a .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa extensão periódica. Uma função periódica repete seus valores em intervalos constantes. O menor intervalo após o qual a função se repete é chamado de período. No nosso caso, o período é porque a função está definida de a .

Passo 4

Para desenhar o gráfico completo, vamos repetir a função em cada intervalo de . Isso significa que após , a função volta a se comportar como no intervalo inicial , e assim por diante para ambos os lados da reta real.

Passo 5

Vamos esboçar o gráfico:
  1. Intervalo : A função está em 0.
  2. Intervalo : A função está em .
  3. Repetição para : A mesma forma se repete a cada .
Então, teremos uma série de “blocos” horizontais, alternando entre 0 e , cada um com comprimento de .

Resposta

O gráfico da extensão periódica de em consiste em segmentos horizontais que alternam entre o valor 0 e , cada um com comprimento de , repetindo-se a cada unidades ao longo da reta real. Isso resulta em uma onda quadrada uniforme, onde a função fica constante em 0 de a e em de a , e esse padrão se repete indefinidamente em ambos os sentidos.

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Escreva de 5 à 10 linhas sobre o que você aprendeu de Séries de Fourier.
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;
Seja definida no intervalo de .
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em da função no plano cartesiano.
Seja definida no intervalo de .
(ii) Encontre a série de senos mistos de Fourier da função em .