Resolva os seguintes itens abaixo.
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em
da função
no plano cartesiano.
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de forma diferente em dois intervalos dentro de
. A tarefa é desenhar o gráfico dessa função quando estendida periodicamente para toda a reta real
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções periódicas e como elas se comportam no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
no intervalo inicial
. A função está definida assim:
Isso significa que de
até
, a função é constante e igual a 0. De
até
, a função é constante e igual a
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa extensão periódica. Uma função periódica repete seus valores em intervalos constantes. O menor intervalo após o qual a função se repete é chamado de período. No nosso caso, o período é
porque a função está definida de
a
.
Passo 4
Para desenhar o gráfico completo, vamos repetir a função em cada intervalo de
. Isso significa que após
, a função volta a se comportar como no intervalo inicial
, e assim por diante para ambos os lados da reta real.
Passo 5
Vamos esboçar o gráfico:
- Intervalo
: A função está em 0. - Intervalo
: A função está em . - Repetição para
: A mesma forma se repete a cada .
Então, teremos uma série de “blocos” horizontais, alternando entre 0 e
, cada um com comprimento de
.
Resposta
O gráfico da extensão periódica de
em
consiste em segmentos horizontais que alternam entre o valor 0 e
, cada um com comprimento de
, repetindo-se a cada
unidades ao longo da reta real. Isso resulta em uma onda quadrada uniforme, onde a função fica constante em 0 de
a
e em
de
a
, e esse padrão se repete indefinidamente em ambos os sentidos.
Exercícios relacionados
Escreva de 5 à 10 linhas sobre o que você aprendeu de Séries de Fourier.
Ache a solução geral para cada EDO homogênea:
;
Seja
definida no intervalo de
.
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em da função
no plano cartesiano.
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em
Seja
definida no intervalo de
.
(ii) Encontre a série de senos mistos de Fourier da função em
.
(ii) Encontre a série de senos mistos de Fourier da função